Tam giác ABC có $\widehat{A}=60°,$ các tia phân giác của góc B và C cắt nhau tại I. Các tia phân giác góc ngoài tại đỉnh B và C cắt nhau tại K. Số đo của $\widehat{\text{BIC}}\text{; }\widehat{\text{BKC}}$ là

Đáp án đúng là: D

Xét tam giác ABC có:

\[\widehat A{\rm{ + }}\widehat {{\rm{ABC}}}{\rm{ + }}\widehat {{\rm{BCA}}}{\rm{ = 180}}^\circ \]

\[ \Rightarrow \widehat {{\rm{ABC}}}{\rm{ + }}\widehat {{\rm{BCA}}}{\rm{ = 120}}^\circ \]

Vì BI là phân giác \[\widehat {{\rm{BAC}}} \Rightarrow \widehat {{\rm{CBI}}}{\rm{ = }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{2}}}\widehat {{\rm{BAC}}}\]

Vì CI là phân giác \[\widehat {{\rm{BCA}}} \Rightarrow \widehat {{\rm{BCI}}}{\rm{ = }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{2}}}\widehat {{\rm{BCA}}}\]

Từ đó:\[\widehat {{\rm{CBI}}}{\rm{ + }}\widehat {{\rm{BCI}}}{\rm{ = }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{2}}}\left( {\widehat {{\rm{BAC}}}{\rm{ + }}\widehat {{\rm{BCA}}}} \right){\rm{ = }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{2}}}{\rm{.120}}^\circ {\rm{ = 60}}^\circ \]

Xét tam giác BCI có:\[\widehat {{\rm{BCI}}}{\rm{ + }}\widehat {{\rm{BIC}}}{\rm{ + }}\widehat {{\rm{CBI}}}{\rm{ = 180}}^\circ \]

Nên: \[\widehat {{\rm{BIC}}}{\rm{ = 180}}^\circ - \left( {\widehat {{\rm{BCI}}}{\rm{ + }}\widehat {{\rm{CBI}}}} \right){\rm{ = 180}}^\circ - {\rm{60}}^\circ {\rm{ = 120}}^\circ \]

Vì BI là phân giác \[\widehat {{\rm{BAC}}} \Rightarrow \widehat {{\rm{CBI}}}{\rm{ = }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{2}}}\widehat {{\rm{BAC}}}\]

Vì BK là phân giác \[\widehat {{\rm{CBx}}} \Rightarrow \widehat {{\rm{CBK}}}{\rm{ = }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{2}}}\widehat {{\rm{CBx}}}\]

Suy ra:\[\widehat {{\rm{CBK}}}{\rm{ + }}\widehat {{\rm{CBI}}}{\rm{ = }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{2}}}\left( {\widehat {{\rm{CBx}}}{\rm{ + }}\widehat {{\rm{ABC}}}} \right){\rm{ = }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{2}}}{\rm{.180}}^\circ {\rm{ = 90}}^\circ \]

Hay \[\widehat {{\rm{IBK}}}{\rm{ = 90}}^\circ \]

Tương tự ta có: \[\widehat {{\rm{ICK}}}{\rm{ = 90}}^\circ \]

Xét tứ giác BICK có:

\[\widehat {{\rm{BIC}}}{\rm{ + }}\widehat {{\rm{IBC}}}{\rm{ + }}\widehat {{\rm{ICK}}}{\rm{ + }}\widehat {{\rm{BKC}}}{\rm{ = 360}}^\circ \]

\[ \Rightarrow \widehat {{\rm{BKC}}}{\rm{ = 360}}^\circ - {\rm{90}}^\circ - {\rm{90}}^\circ - {\rm{120}}^\circ {\rm{ = 60}}^\circ \]

Vậy  \[\widehat {{\rm{BIC}}}{\rm{ = 120}}^\circ {\rm{; }}\widehat {{\rm{BKC}}}{\rm{ = 60}}^\circ \]