b) Chứng minh rằng hai đồ thị trên đối xứng nhau qua đường thẳng y = x, tức là nếu điểm M nằm trên một đồ thị thì điểm M’ đối xứng với M qua đường thẳng y = x sẽ nằm trên đồ thị còn lại.

b) Xét điểm $A\left(x_0;e^{x_0}\right)$  nằm trên đồ thị hàm số y = e^x.

Phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm $A\left(x_0;e^{x_0}\right)$  và vuông góc với đường thẳng y = x có dạng :$y=-x+x_0+e^{x_0}$ .

Gọi B là giao điểm của đường thẳng (d) và đường thẳng y = x.

Khi đó $B\left(\frac{x_0+e^{x_0}}{2};\frac{x_0+e^{x_0}}{2}\right)$  .

Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua đường thẳng y = x. Khi đó B là trung điểm của AA’.

Do đó $\left\{\begin{array}{l}{x}_{A^{\text{'}}}=2x_B-x_A\\ y_{A^{\text{'}}}=2y_B-y_A\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{x}_{{}_{A^{\text{'}}}}=2\cdot \frac{x_0+e^{x_0}}{2}-x_0\\ y_{{}_{A^{\text{'}}}}=2\cdot \frac{x_0+e^{x_0}}{2}-e^{x_0}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{x}_{A^{\text{'}}}=e^{x_0}\\ y_{A^{\text{'}}}=x_0\end{array}\right.$  . Vậy $A^{\text{'}}\left(e^{x_0};x_0\right)$ .

Thay tọa độ điểm $A^{\text{'}}\left(e^{x_0};x_0\right)$  vào hàm số y = ln x, ta được $x_0=\ln e^{x_0}$  (luôn đúng),

Vậy  $A^{\text{'}}\left(e^{x_0};x_0\right)$  thuộc đồ thị hàm số y = ln x.

Tương tự, nếu B(x₀; ln x₀) nằm trên đồ thị hàm số y = ln x thì ta cũng tìm được điểm B’ đối xứng với B qua đường thẳng y = x và điểm B’ thuộc đồ thị hàm số y = e^x.

Vậy hai đồ thị đã cho đối xứng với nhau qua đường thẳng y = x.