Một vật chuyển động có quãng đường được xác định bởi phương trình $s\left(t\right)=2t^2+5t+2$, trong đó s tính bằng mét và t là thời gian tính bằng giây. Tính vận tốc tức thời tại điểm t = 4.

Ta có  $y^{\text{'}}=2x$.

a) Phương trình tiếp tuyến của (P) tại điểm (−1; 1) có hệ số góc  $y^{\text{'}}(-1)=2.\left(-1\right)=-2$.

b) Gọi giao điểm của (P) với đường thẳng y = −3x + 2 là M(x₀; y₀).

Ta có  $x_0^2=-3x_0+2\iff x_0^2+3x_0-2=0$

 $\iff x_0=\frac{-3+\sqrt{17}}{2}$; $x_0=\frac{-3-\sqrt{17}}{2}$.

• Với  $x_0=\frac{-3+\sqrt{17}}{2}$, hệ số góc của tiếp tuyến là  $y^{\text{'}}\left(\frac{-3+\sqrt{17}}{2}\right)=-3+\sqrt{17}$.

• Với  $x_0=\frac{-3-\sqrt{17}}{2}$, hệ số góc của tiếp tuyến là  $y^{\text{'}}\left(\frac{-3-\sqrt{17}}{2}\right)=-3-\sqrt{17}$.

Ta có  $y^{\text{'}}=(x^3-2x^2+1{)}^{\text{'}}=3x^2-2.2x=3x^2-4x$.

a) Gọi d₁ là tiếp tuyến cần tìm của (C) và M₀(x₀; y₀) là tiếp điểm của (C) và d₁.

Vì d₁ song song với đường thẳng y = −x + 2 nên  $y^{\text{'}}\left(x_0\right)=-1$.

Suy ra  $3x_0^2-4x_0=-1\iff 3x_0^2-4x_0+1=0\iff x_0=1$ hoặc  $x_0=\frac{1}{3}$.

− Với $x_0=1$, phương trình tiếp tuyến tại điểm  $M_0\left(1;0\right)$ có hệ số góc  $y^{\text{'}}\left(1\right)=-1$ là:

 $y-y_0=y^{\text{'}}\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)$

  $\iff y-0=-1\left(x-1\right)\iff y=-x+1$.

− Với  $x_0=\frac{1}{3}$, phương trình tiếp tuyến tại điểm  $M_0\left(\frac{1}{3};\frac{22}{27}\right)$ có hệ số góc  $y^{\text{'}}\left(\frac{1}{3}\right)=-1$ là:

 $y-y\left(\frac{1}{3}\right)=y^{\text{'}}\left(\frac{1}{3}\right)\left(x-\frac{1}{3}\right)$

 $\iff y-\frac{22}{27}=-1\left(x-\frac{1}{3}\right)$

 $\iff y=-x+\frac{31}{27}$

Vậy tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng y = −x + 2 là:  $d_1:y=-x+1$ và  $d_2:y=-x+\frac{31}{27}$.