$\lim_{x \to x_{0}} \frac{\sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{x_{0}}}{(\sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{x_{0}}) (\sqrt[3]{x^{2}} + \sqrt[3]{x x_{0}} + \sqrt[3]{{x_{0}}^{2}})}$

$= \lim_{x \to x_{0}} \frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}} + \sqrt[3]{x x_{0}} + \sqrt[3]{{x_{0}}^{2}}} = \frac{1}{3 \sqrt[3]{{x_{0}}^{2}}}$ .

Vậy $y^{'} (x) = \frac{1}{3 \sqrt[3]{x^{2}}} (x \neq 0)$ .

Câu 2/6

Cho parabol (P) có phương trình $y = x^{2}$ . Tìm hệ số góc của tiếp tuyến của parabol (P).

a) Tại điểm (−1; 1);

b) Tại giao điểm của (P) với đường thẳng y = −3x + 2.

Xem đáp án

Lời giải

Ta có $y^{'} = 2 x$ .

a) Phương trình tiếp tuyến của (P) tại điểm (−1; 1) có hệ số góc $y^{'} (- 1) = 2. (- 1) = - 2$ .

b) Gọi giao điểm của (P) với đường thẳng y = −3x + 2 là M(x₀; y₀).

Ta có $x_{0}^{2} = - 3 x_{0} + 2 \Leftrightarrow x_{0}^{2} + 3 x_{0} - 2 = 0$

$\Leftrightarrow x_{0} = \frac{- 3 + \sqrt{17}}{2}$ ; $x_{0} = \frac{- 3 - \sqrt{17}}{2}$ .

• Với $x_{0} = \frac{- 3 + \sqrt{17}}{2}$ , hệ số góc của tiếp tuyến là $y^{'} (\frac{- 3 + \sqrt{17}}{2}) = - 3 + \sqrt{17}$ .

• Với $x_{0} = \frac{- 3 - \sqrt{17}}{2}$ , hệ số góc của tiếp tuyến là $y^{'} (\frac{- 3 - \sqrt{17}}{2}) = - 3 - \sqrt{17}$ .

Câu 3/6

Xét tính liên tục, sự tồn tại đạo hàm và tính đạo hàm (nếu có) của các hàm số sau đây trên ℝ.

a) $f (x) = \{\begin{matrix} x^{2} - x + 2 khi x \leq 2 \\ \frac{1}{x + 1} khi x > 2; \end{matrix}$

Xem đáp án

Lời giải

a) Ta có

• $\lim_{x \to 2^{+}} f (x) = \lim_{x \to 2^{+}} \frac{1}{x + 1} = \frac{1}{2 + 1} = \frac{1}{3}$ ;

• $\lim_{x \to 2^{-}} f (x) = \lim_{x \to 2^{-}} (x^{2} - x + 2) = 2^{2} - 2 + 2 = 4$ .

Vì $\lim_{x \to 2^{+}} f (x) = \frac{1}{3} \neq 4 = \lim_{x \to 2^{-}} f (x)$ nên f(x) gián đoạn tại 2, do đó f(x) không có đạo hàm tại 2.

Câu 4/6

Xét tính liên tục, sự tồn tại đạo hàm và tính đạo hàm (nếu có) của các hàm số sau đây trên ℝ.

b) $f (x) = \{\begin{matrix} x^{2} + 2 khi x \leq 1 \\ \frac{2}{x} +1 khi x > 1; \end{matrix}$

Xem đáp án

Lời giải

b) Ta có

• $\lim_{x \to 1^{+}} f (x) = \lim_{x \to 1^{+}} (\frac{2}{x} + 1) = \frac{2}{1} + 1 = 3$ ;

• $\lim_{x \to 1^{-}} f (x) = \lim_{x \to 1^{-}} (x^{2} + 2) = 1^{2} + 2 = 3$ .

Vì $\lim_{x \to 1^{+}} f (x) = 3 = \lim_{x \to 1^{-}} f (x)$ nên f(x) liên tục tại 1.

Ta lại có

• $\lim_{x \to 1^{-}} \frac{f (x) - f (1)}{x - 1} = \lim_{x \to 1^{-}} \frac{x^{2} + 2 x - 3}{x - 1}$

$= \lim_{x \to 1^{-}} \frac{(x - 1) (x + 3)}{x - 1} = \lim_{x \to 1^{-}} (x + 3) = 1 + 3 = 4$ .

• $\lim_{x \to 1^{+}} \frac{f (x) - f (1)}{x - 1} = \lim_{x \to 1^{+}} \frac{\frac{2}{x} +1 - 3}{x - 1}$

$= \lim_{x \to 1^{+}} \frac{\frac{2}{x} - 2}{x - 1} = \lim_{x \to 1^{+}} \frac{2 - 2 x}{x (x - 1)}$

$= \lim_{x \to 1^{+}} - \frac{2}{x} = \frac{- 2}{1} = - 2$ .

Vì $\lim_{x \to 1^{-}} \frac{f (x) - f (1)}{x - 1} \neq \lim_{x \to 1^{+}} \frac{f (x) - f (1)}{x - 1}$ nên không tồn tại $\lim_{x \to 1} \frac{f (x) - f (1)}{x - 1}$ .

Vậy f(x) không có đạo hàm tại x = 1.

Câu 5/6

Gọi (C) là đồ thị của hàm số y = x³− 2x² +1. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) sao cho tiếp tuyến đó

a) Song song với đường thẳng y = −x + 2;

Xem đáp án

Lời giải

Ta có $y^{'} = (x^{3} - 2 x^{2} + 1)^{'} = 3 x^{2} - 2.2 x = 3 x^{2} - 4 x$ .

a) Gọi d₁ là tiếp tuyến cần tìm của (C) và M₀(x₀; y₀) là tiếp điểm của (C) và d₁.

Vì d₁ song song với đường thẳng y = −x + 2 nên $y^{'} (x_{0}) = - 1$ .

Suy ra $3 x_{0}^{2} - 4 x_{0} = - 1 \Leftrightarrow 3 x_{0}^{2} - 4 x_{0} + 1 = 0 \Leftrightarrow x_{0} = 1$ hoặc $x_{0} = \frac{1}{3}$ .

− Với $x_{0} = 1$ , phương trình tiếp tuyến tại điểm $M_{0} (1; 0)$ có hệ số góc $y^{'} (1) = - 1$ là:

$y - y_{0} = y^{'} (x_{0}) (x - x_{0})$

$\Leftrightarrow y - 0 = - 1 (x - 1) \Leftrightarrow y = - x + 1$ .

− Với $x_{0} = \frac{1}{3}$ , phương trình tiếp tuyến tại điểm $M_{0} (\frac{1}{3}; \frac{22}{27})$ có hệ số góc $y^{'} (\frac{1}{3}) = - 1$ là:

$y - y (\frac{1}{3}) = y^{'} (\frac{1}{3}) (x - \frac{1}{3})$

$\Leftrightarrow y - \frac{22}{27} = - 1 (x - \frac{1}{3})$

$\Leftrightarrow y = - x + \frac{31}{27}$

Vậy tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng y = −x + 2 là: $d_{1} : y = - x + 1$ và $d_{2} : y = - x + \frac{31}{27}$ .

Câu 6/6

Một vật chuyển động có quãng đường được xác định bởi phương trình $s (t) = 2 t^{2} + 5 t + 2$ , trong đó s tính bằng mét và t là thời gian tính bằng giây. Tính vận tốc tức thời tại điểm t = 4.

Xem đáp án

Lời giải

Ta có $s^{'} (t) = {(2 t^{2} + 5 t + 2)}^{'} = 2.2 t + 5 = 4 t + 5$ .

Vận tốc tức thời tại điểm t = 4 là

s^{'} (4) = 4.4 + 5 = 21

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Đại học

ĐGNL - ĐGTD

Tốt nghiệp THPT

Ôn vào 10

Ôn vào 6

ĐGNL-ĐGTD

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Toán

Toán

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Khoa học tự nhiên

Tin học

Lịch sử

Địa lí

Toán

Toán

Toán

Toán

Tiếng Việt

Tiếng Anh

Giải SBT Toán 11 CTST Bài 1. Đạo hàm có đáp án

🔥 Học sinh cũng đã học

Bài tập Vận dụng đạo hàm cấp hai để giải quyết một số bài toán thực tiễn lớp 11 (có lời giải)

Bài tập Vận dụng các quy tắc tính đạo hàm để giải quyết một số bài toán thực tiễn lớp 11 (có lời giải)

Bài tập Sử dụng các công thức tính đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương các hàm số và đạo hàm của hàm số hợp lớp 11 (có lời giải)

Bài tập Vận dụng định nghĩa đạo hàm vào giải quyết một số bài toán thực tiễn lớp 11 (có lời giải)

Bài tập Thiết lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại một điểm thuộc đồ thị lớp 11 (có lời giải)

Bài tập Các bài toán thực tiễn vận dụng công thức nhân xác suất lớp 11 (có lời giải)

Bài tập Tính xác suất của biến cố hợp của hai biến cố bất kì bằng cách sử dụng công thức cộng xác suất và phương pháp tổ hợp lớp 11 (có lời giải)

Bài tập Biến cố độc lập lớp 11 (có lời giải)

Danh sách câu hỏi:

Cho hàm số y=x3. Chứng minh rằng y'x=13x23x≠0.

Cho parabol (P) có phương trình y=x2. Tìm hệ số góc của tiếp tuyến của parabol (P). a) Tại điểm (−1; 1); b) Tại giao điểm của (P) với đường thẳng y = −3x + 2.

Xét tính liên tục, sự tồn tại đạo hàm và tính đạo hàm (nếu có) của các hàm số sau đây trên ℝ. a) fx=x2−x+2 khi x≤21x+1 khi x > 2;

Xét tính liên tục, sự tồn tại đạo hàm và tính đạo hàm (nếu có) của các hàm số sau đây trên ℝ. b) fx=x2+2 khi x≤12x+1 khi x > 1;

Gọi (C) là đồ thị của hàm số y = x3 − 2x2 +1. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) sao cho tiếp tuyến đó a) Song song với đường thẳng y = −x + 2;

Một vật chuyển động có quãng đường được xác định bởi phương trình st=2t2+5t+2, trong đó s tính bằng mét và t là thời gian tính bằng giây. Tính vận tốc tức thời tại điểm t = 4.

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Cho hàm số $y = \sqrt[3]{x}$ . Chứng minh rằng $y^{'} (x) = \frac{1}{3 \sqrt[3]{x^{2}}} (x \neq 0)$ .

Cho parabol (P) có phương trình $y = x^{2}$ . Tìm hệ số góc của tiếp tuyến của parabol (P).

a) Tại điểm (−1; 1);

b) Tại giao điểm của (P) với đường thẳng y = −3x + 2.

Xét tính liên tục, sự tồn tại đạo hàm và tính đạo hàm (nếu có) của các hàm số sau đây trên ℝ.

a) $f (x) = \{\begin{matrix} x^{2} - x + 2 khi x \leq 2 \\ \frac{1}{x + 1} khi x > 2; \end{matrix}$

Xét tính liên tục, sự tồn tại đạo hàm và tính đạo hàm (nếu có) của các hàm số sau đây trên ℝ.

b) $f (x) = \{\begin{matrix} x^{2} + 2 khi x \leq 1 \\ \frac{2}{x} +1 khi x > 1; \end{matrix}$

Gọi (C) là đồ thị của hàm số y = x³− 2x² +1. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) sao cho tiếp tuyến đó

a) Song song với đường thẳng y = −x + 2;

Một vật chuyển động có quãng đường được xác định bởi phương trình $s (t) = 2 t^{2} + 5 t + 2$ , trong đó s tính bằng mét và t là thời gian tính bằng giây. Tính vận tốc tức thời tại điểm t = 4.