Cho tam giác ABC cân tại A. Vẽ AH ⊥ BC. Trên tia đối của tia HA lấy điểm D sao cho HD = HA. Trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho CE = CB. Điểm C là trọng tâm của tam giác nào?

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Hai đường trung tuyến BD và CE cắt nhau tại G nên G là trọng tâm của ΔABC.

Suy ra $BG=\frac{2}{3}BD;CG=\frac{2}{3}CE$ mà BD = CE

Do đó BG = CG.

Khi đó BD – BG = CE – CG hay GD = GE.

Xét ΔBGE và ΔCGD có:

BG = CG (chứng minh trên);

$\widehat{BGE}=\widehat{CGD}$ (hai góc đối đỉnh);

GE = GD (chứng minh trên)

Do đó ΔBGE = ΔCGD (c.g.c)

Suy ra BE = CD (hai cạnh tương ứng).

Do BD và CE là hai đường trung tuyến của ∆ABC nên D, E lần lượt là trung điểm của AC, AB. Do đó $AE=BE=\frac{1}{2}AB$ và $AD=CD=\frac{1}{2}AC.$

Mà BE = CD (chứng minh trên) nên AB = AC, suy ra tam giác ABC cân tại A.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

⦁ Gọi M là giao điểm của AK và BC.

Xét ∆AMB và ∆AMC có:

AB = AC (do ∆ABC cân tại A);

$\widehat{BAM}=\widehat{CAM}$ (do AM là phân giác của góc BAC);

AM là cạnh chung

Do đó ∆AMB = ∆AMC (c.g.c)

Suy ra MB = MC (hai cạnh tương ứng)

Khi đó AM hay AK là đường trung tuyến của tam giác ABC. Do đó khẳng định C đúng.

⦁ ∆ABC có hai đường trung tuyến AM, BD cắt nhau tại K nên K là trọng tâm của ∆ABC. Do đó khẳng định B đúng.

⦁ K là trọng tâm của ∆ABC nên CK là đường trung tuyến

Mà CI cũng là đường trung tuyến của ∆ABC nên ba điểm C, K, I thẳng hàng.

Do đó khẳng định A đúng.

⦁ Tam giác ABC có đường trung tuyến BD. Giả sử BD là đường phân giác của tam giác thì tam giác ABC cân tại B, điều này mâu thuẫn với giả thiết ∆ABC cân tại A.

Do đó khẳng định D là sai.

Vậy ta chọn phương án D.