Cho đường thẳng d: x – 3y + 5 = 0. Phương trình đường tròn (C) có tâm nằm trên đường thẳng Δ: 2x + y = 0 và tiếp xúc với d tại điểm A(1; 2) là

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Gọi giao điểm của đường thẳng Δ và (C) là A, B và H là hình chiếu của I trên AB.

Khi đó d(I, Δ) = IH = $\frac{\left|3\cdot 1+4\cdot 1+13\right|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{20}{5}=4$.

Do (C) cắt Δ theo một dây cung có độ dài bằng 8 nên AB = 8.

Vì IH ⊥ AB nên H là trung điểm của AB. Do đó $HB=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}\cdot 8=4.$

Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông IHB ta có:

IB² = IH² + HB² tức là R² = 4² + 4² = 32.

Do đó phương trình của (C) là :

(x – 1)² + (y – 1)² = 32 hay x² + y² – 2x – 2y – 30 = 0.