Cho hai số x, y khác 0 thỏa mãn x2+8x2+y28=8. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A=xy+2024.

Theo đề bài: x2+8x2+y28=8 suy ra 2x2+16x2+y24=16 Ta có: 2x2+16x2+y24=x2+16x2−8+x2+y24+xy−xy+8 =x−4x2+x+y22−xy+8. Mà 2x2+16x2+y24=16 nên x−4x2+x+y22−xy+8=16 Do đó x−4x2+x+y22=xy+8. Nhận xét: Với mọi x, y ta có x−4x2≥0, x+y22≥0 Do đó xy+8≥0 hay xy≥−8. Khi đó A=xy+2 024≥−8+2 024=2 016. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x−4x2=0x+y22=0 hay x−4x=0x+y2=0 tức là x2−4=0y=−2x nên x=2y=−4 hoặc x=−2y=4. Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là 2016 khi x;y∈2;−4;−2;4.

Câu hỏi:

12/07/2024 6,656

Cho hai số x, y khác 0 thỏa mãn $x^{2} + \frac{8}{x^{2}} + \frac{y^{2}}{8} = 8$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A = x y + 2024.$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề kiểm tra Cuối kì 1 Toán 8 CD có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Theo đề bài: $x^{2} + \frac{8}{x^{2}} + \frac{y^{2}}{8} = 8$ suy ra $2 x^{2} + \frac{16}{x^{2}} + \frac{y^{2}}{4} = 16$

Ta có: $2 x^{2} + \frac{16}{x^{2}} + \frac{y^{2}}{4} = (x^{2} + \frac{16}{x^{2}} - 8) + (x^{2} + \frac{y^{2}}{4} + x y) - x y + 8$

= {(x - \frac{4}{x})}^{2} + {(x + \frac{y}{2})}^{2} - x y + 8.

Mà $2 x^{2} + \frac{16}{x^{2}} + \frac{y^{2}}{4} = 16$ nên ${(x - \frac{4}{x})}^{2} + {(x + \frac{y}{2})}^{2} - x y + 8 = 16$

Do đó ${(x - \frac{4}{x})}^{2} + {(x + \frac{y}{2})}^{2} = x y + 8.$

Nhận xét: Với mọi x, y ta có ${(x - \frac{4}{x})}^{2} \geq 0, {(x + \frac{y}{2})}^{2} \geq 0$

Do đó $x y + 8 \geq 0$ hay $x y \geq - 8.$

Khi đó $A = x y + 2 024 \geq - 8 + 2 024 = 2 016.$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $\{\begin{cases} {(x - \frac{4}{x})}^{2} = 0 \\ {(x + \frac{y}{2})}^{2} = 0 \end{cases}$ hay $\{\begin{cases} x - \frac{4}{x} = 0 \\ x + \frac{y}{2} = 0 \end{cases}$ tức là $\{\begin{cases} x^{2} - 4 = 0 \\ y = - 2 x \end{cases}$ nên $\{\begin{cases} x = 2 \\ y = - 4 \end{cases}$ hoặc $\{\begin{cases} x = - 2 \\ y = 4 \end{cases} .$