Cho đường tròn (O) và một điểm M nằm ngoài đường tròn. Từ điểm M kẻ hai tiếp tuyến MA, MB đến (O) (với A, B là các tiếp điểm). Gọi C là điểm đối xứng với B qua O, đường thẳng MC cắt đường tròn (O) tại D (D khác C).

1) Chứng minh MAOB là tứ giác nội tiếp.

2) Gọi N là giao điểm của hai đường thẳng AD và MO Chứng minh $M{N}^2=ND\cdot NA.$

3) Gọi H là giao điểm của MO và AB. Chứng minh ${\left(\frac{HA}{HD}\right)}^2-\frac{AC}{HN}=1$.

a) Vì MA và MB là hai tiếp tuyến của đường tròn (O) nên $\widehat{MAO}=90°$ và $\widehat{MBO}=90°.$

Xét tứ giác MAOB có: $\widehat{MAO}+\widehat{MBO}=90°+90°=180°,$ mà hai góc này đối nhau nên tứ giác MAOB nội tiếp.

b) Do C đối xứng với B qua O nên BC là đường kính, do đó $\widehat{BAC}=90°$ hay $AB\perp AC.$

Ta có: OA = OB nên O nằm trên đường trung trực của AB.

MA = MB (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) nên M nằm trên đường trung trực của AB

Suy ra OM là đường trung trực của AB do đó $OM\perp AB.$

Khi đó $MN\text{\hspace{0.17em}//\hspace{0.17em}}AC$ (vì cùng vuông góc với AH) Do đó $\widehat{DMN}=\widehat{ACM}$ (so le trong).

Mà $\widehat{MAD}=\widehat{ACM}$ (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn $\stackrel{⏜}{AD}).$

Suy ra $\widehat{DMN}=\widehat{MAD}.$

Xét $\text{Δ}MND$ và $\text{Δ}ANM$ có: $\widehat{N}$ là góc chung và $\widehat{DMN}=\widehat{MAN}=\widehat{MAD}.$

Do đó $\text{Δ}MND\backsim \text{Δ}ANM$ (g.g) $\Rightarrow \frac{MN}{ND}=\frac{NA}{MN}\Rightarrow M{N}^2=ND\cdot NA.$

c) Dễ dàng chứng minh được $\Delta MAD\backsim \Delta MCA$ (g.g) $\Rightarrow \frac{MA}{MC}=\frac{MD}{MA}$$\Rightarrow M{A}^2=MD\cdot MC.$ 

Lại có $M{A}^2=MH\cdot MO$ (hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông MAO)

Do đó $MD\cdot MC=MH\cdot MO$ (cùng bằng $M{A}^2)$

$\Rightarrow \frac{MD}{MO}=\frac{MH}{MC},$ mà $\Delta MDH$ và $\Delta MOC$ có $\widehat{M}$ là góc chung.

Do đó $\Delta MDH\backsim \Delta MOC$ (g.g) nên $\widehat{MHD}=\widehat{MCO}.$

Mà $\widehat{MCO}=\widehat{DCB}=\widehat{DAB}=\widehat{DAH}$ (cùng chắn cung DB  của đường tròn (O))

$\Rightarrow \widehat{MHD}=\widehat{DAH}.$

Lại có $\widehat{MHD}+\widehat{DHA}=90°$ nên $\widehat{DAH}+\widehat{DHA}=90°,$ suy ra $DH\perp NA.$

Do đó $H{N}^2=ND\cdot NA.$

Lại có $M{N}^2=ND\cdot NA$ (câu b) nên $H{N}^2=M{N}^2\Rightarrow HN=MN.$

Ta có $\frac{H{A}^2}{H{D}^2}=\frac{AD\cdot AN}{AD\cdot DN}=\frac{AN}{DN}$ và $\frac{AC}{HN}=\frac{AC}{MN}=\frac{AD}{DN}$ (hệ quả định lí Thalès)

Suy ra ${\left(\frac{HA}{HD}\right)}^2-\frac{AC}{HN}=\frac{AN}{DN}-\frac{AD}{DN}=\frac{DN}{DN}=1.$