Câu hỏi:

08/03/2024 5,829

Cho đường tròn (O) và một điểm M nằm ngoài đường tròn. Từ điểm M kẻ hai tiếp tuyến MA, MB đến (O) (với A, B là các tiếp điểm). Gọi C là điểm đối xứng với B qua O, đường thẳng MC cắt đường tròn (O) tại D (D khác C).

1) Chứng minh MAOB là tứ giác nội tiếp.

2) Gọi N là giao điểm của hai đường thẳng AD và MO Chứng minh $M N^{2} = N D \cdot N A .$

3) Gọi H là giao điểm của MO và AB. Chứng minh ${(\frac{H A}{H D})}^{2} - \frac{A C}{H N} = 1$ .

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Ôn thi Cấp tốc 789+ vào 10 môn Toán (Đề 2) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Cho đường tròn (O) và một điểm M nằm ngoài đường tròn. Từ điểm M kẻ hai tiếp tuyến MA, MB đến (O) (với A, B là các tiếp điểm). (ảnh 1)

a) Vì MA và MB là hai tiếp tuyến của đường tròn (O) nên $\hat{M A O} = 90 °$ và $\hat{M B O} = 90 ° .$

Xét tứ giác MAOB có: $\hat{M A O} + \hat{M B O} = 90 ° + 90 ° = 180 °,$ mà hai góc này đối nhau nên tứ giác MAOB nội tiếp.

b) Do C đối xứng với B qua O nên BC là đường kính, do đó $\hat{B A C} = 90 °$ hay $A B ⊥ A C .$

Ta có: OA = OB nên O nằm trên đường trung trực của AB.

MA = MB (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) nên M nằm trên đường trung trực của AB

Suy ra OM là đường trung trực của AB do đó $O M ⊥ A B .$

Khi đó $M N // A C$ (vì cùng vuông góc với AH) Do đó $\hat{D M N} = \hat{A C M}$ (so le trong).

Mà $\hat{M A D} = \hat{A C M}$ (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn $\overset{⏜}{A D}) .$

Suy ra $\hat{D M N} = \hat{M A D} .$

Xét $Δ M N D$ và $Δ A N M$ có: $\hat{N}$ là góc chung và $\hat{D M N} = \hat{M A N} = \hat{M A D} .$

Do đó $Δ M N D ∽ Δ A N M$ (g.g) $\Rightarrow \frac{M N}{N D} = \frac{N A}{M N} \Rightarrow M N^{2} = N D \cdot N A .$

c) Dễ dàng chứng minh được $Δ M A D ∽ Δ M C A$ (g.g) $\Rightarrow \frac{M A}{M C} = \frac{M D}{M A}$ $\Rightarrow M A^{2} = M D \cdot M C .$

Lại có $M A^{2} = M H \cdot M O$ (hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông MAO)

Do đó $M D \cdot M C = M H \cdot M O$ (cùng bằng $M A^{2})$

$\Rightarrow \frac{M D}{M O} = \frac{M H}{M C},$ mà $Δ M D H$ và $Δ M O C$ có $\hat{M}$ là góc chung.

Do đó $Δ M D H ∽ Δ M O C$ (g.g) nên $\hat{M H D} = \hat{M C O} .$

Mà $\hat{M C O} = \hat{D C B} = \hat{D A B} = \hat{D A H}$ (cùng chắn cung DB của đường tròn (O))

$\Rightarrow \hat{M H D} = \hat{D A H} .$

Lại có $\hat{M H D} + \hat{D H A} = 90 °$ nên $\hat{D A H} + \hat{D H A} = 90 °,$ suy ra $D H ⊥ N A .$

Do đó $H N^{2} = N D \cdot N A .$

Lại có $M N^{2} = N D \cdot N A$ (câu b) nên $H N^{2} = M N^{2} \Rightarrow H N = M N .$

Ta có $\frac{H A^{2}}{H D^{2}} = \frac{A D \cdot A N}{A D \cdot D N} = \frac{A N}{D N}$ và $\frac{A C}{H N} = \frac{A C}{M N} = \frac{A D}{D N}$ (hệ quả định lí Thalès)

Suy ra ${(\frac{H A}{H D})}^{2} - \frac{A C}{H N} = \frac{A N}{D N} - \frac{A D}{D N} = \frac{D N}{D N} = 1.$

Nhà sách vietjack

Xem thêm kho sách »

Hot: 500+ Đề thi vào 10 file word các Sở Hà Nội, TP Hồ Chí Minh có đáp án 2025 (chỉ từ 100k). Tải ngay

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d) có phương trình y = ax + b

Tìm a, b để đường thẳng (d) có hệ số góc bằng 3 và đi qua điểm M (-1;2).

Xem đáp án » 12/07/2024 4,466

Câu 2:

Giải hệ phương trình $\{\begin{cases} 3 x + y = 6 \\ x - y = - 2 \end{cases} .$

Xem đáp án » 12/07/2024 1,985

Câu 3:

1) Giải phương trình $x^{2} - 3 x + 2 = 0.$

2) Cho phương trình $x^{2} - 2 m x - m^{2} - 2 = 0$ (mlà tham số). Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm $x_{1}, x_{2}$ (với $x_{1} < x_{2})$ thỏa mãn hệ thức $x_{2} - 2 |x_{1}| - 3 x_{1} x_{2} = 3 m^{2} + 3 m + 4.$

Xem đáp án » 12/07/2024 1,394

Câu 4:

Cho các số thực không âm x, y, z thỏa mãn $4 x^{2} + y^{2} + 4 z^{2} \leq 6 y$ .

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $M = \frac{8}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{16}{{(y + 4)}^{2}} + \frac{1}{{(z + 1)}^{2}} + 2023.$

Xem đáp án » 12/07/2024 1,278

Câu 5:

Cho biểu thức $P = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 2} + \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 2} - \frac{2 + 5 \sqrt{x}}{x - 4}$ với $x \geq 0, x \neq 4.$

1) Rút gọn biểu thức P

2) Tìm tất cả các giá trị của x để P > 1.

Xem đáp án » 08/03/2024 365

Xem thêm các câu hỏi khác »

Hỏi bài tập

Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

Siêu tiết kiệm - Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

Bình luận

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d) có phương trình y = ax + b Tìm a, b để đường thẳng (d) có hệ số góc bằng 3 và đi qua điểm M (-1;2).

Giải hệ phương trình 3x+y=6x−y=−2.

1) Giải phương trình x2−3x+2=0. 2) Cho phương trình x2−2mx−m2−2=0 (mlà tham số). Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x1,x2 (với x1<x2) thỏa mãn hệ thức x2−2x1−3x1x2=3m2+3m+4.

Cho các số thực không âm x, y, z thỏa mãn 4x2+y2+4z2≤6y. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M=8x+32+16y+42+1z+12+2023.

Cho biểu thức P=xx+2+x+1x−2−2+5xx−4 với x≥0,x≠4. 1) Rút gọn biểu thức P 2) Tìm tất cả các giá trị của x để P > 1.

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d) có phương trình y = ax + b

Tìm a, b để đường thẳng (d) có hệ số góc bằng 3 và đi qua điểm M (-1;2).

Giải hệ phương trình $\{\begin{cases} 3 x + y = 6 \\ x - y = - 2 \end{cases} .$

Cho các số thực không âm x, y, z thỏa mãn $4 x^{2} + y^{2} + 4 z^{2} \leq 6 y$ .

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $M = \frac{8}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{16}{{(y + 4)}^{2}} + \frac{1}{{(z + 1)}^{2}} + 2023.$

Cho biểu thức $P = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 2} + \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 2} - \frac{2 + 5 \sqrt{x}}{x - 4}$ với $x \geq 0, x \neq 4.$

1) Rút gọn biểu thức P

2) Tìm tất cả các giá trị của x để P > 1.