Cho các số thực không âm x, y, z thỏa mãn 4x2+y2+4z2≤6y. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M=8x+32+16y+42+1z+12+2023.

Ta chứng minh bổ đề: 1m2+1n2≥8m+n2 Áp dụng BĐT Cauchy: 1m2+1n2≥21m2⋅n2=2mn. Do mn≤m+n24 nên suy ra 1m2+1n2≥8m+n2. Ta có: 4x2+4≥24x2⋅4=8x;4y2+4≥8y;4z2+4≥8z. Cộng vế với vế ta được: 24≥8x+8z+2y⇔3≥x+z+y4. Ta lại có: 1z+12+16y+42+8x+32=1z+12+1y4+12+8x+32 ≥8z+y4+22+8x+32 ≥8⋅8z+y4+2+x+32≥8⋅83+2+32=1. ⇒1z+12+16y+42+8x+32+2 023≥1+2 023=2 024. Dấu “=” xảy ra khi x=1; y=4; z=1.

Câu hỏi:

12/07/2024 1,409

Cho các số thực không âm x, y, z thỏa mãn $4 x^{2} + y^{2} + 4 z^{2} \leq 6 y$ .

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $M = \frac{8}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{16}{{(y + 4)}^{2}} + \frac{1}{{(z + 1)}^{2}} + 2023.$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Ôn thi Cấp tốc 789+ vào 10 môn Toán (Đề 2) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Ta chứng minh bổ đề: $\frac{1}{m^{2}} + \frac{1}{n^{2}} \geq \frac{8}{{(m + n)}^{2}}$

Áp dụng BĐT Cauchy: $\frac{1}{m^{2}} + \frac{1}{n^{2}} \geq 2 \sqrt{\frac{1}{m^{2} \cdot n^{2}}} = \frac{2}{m n} .$

Do $m n \leq \frac{{(m + n)}^{2}}{4}$ nên suy ra $\frac{1}{m^{2}} + \frac{1}{n^{2}} \geq \frac{8}{{(m + n)}^{2}} .$

Ta có: $4 x^{2} + 4 \geq 2 \sqrt{4 x^{2} \cdot 4} = 8 x;$ $4 y^{2} + 4 \geq 8 y;$ $4 z^{2} + 4 \geq 8 z .$

Cộng vế với vế ta được: $24 \geq 8 x + 8 z + 2 y \Leftrightarrow 3 \geq x + z + \frac{y}{4} .$

Ta lại có: $\frac{1}{{(z + 1)}^{2}} + \frac{16}{{(y + 4)}^{2}} + \frac{8}{{(x + 3)}^{2}} = \frac{1}{{(z + 1)}^{2}} + \frac{1}{{(\frac{y}{4} + 1)}^{2}} + \frac{8}{{(x + 3)}^{2}}$

$\geq \frac{8}{{(z + \frac{y}{4} + 2)}^{2}} + \frac{8}{{(x + 3)}^{2}}$

$\geq 8 \cdot \frac{8}{{(z + \frac{y}{4} + 2 + x + 3)}^{2}} \geq 8 \cdot \frac{8}{{(3 + 2 + 3)}^{2}} = 1.$

$\Rightarrow \frac{1}{{(z + 1)}^{2}} + \frac{16}{{(y + 4)}^{2}} + \frac{8}{{(x + 3)}^{2}} + 2 023 \geq 1 + 2 023 = 2 024.$

Dấu “=” xảy ra khi $x = 1; y = 4; z = 1.$

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho đường tròn (O) và một điểm M nằm ngoài đường tròn. Từ điểm M kẻ hai tiếp tuyến MA, MB đến (O) (với A, B là các tiếp điểm). Gọi C là điểm đối xứng với B qua O, đường thẳng MC cắt đường tròn (O) tại D (D khác C).

1) Chứng minh MAOB là tứ giác nội tiếp.

2) Gọi N là giao điểm của hai đường thẳng AD và MO Chứng minh $M N^{2} = N D \cdot N A .$

3) Gọi H là giao điểm của MO và AB. Chứng minh ${(\frac{H A}{H D})}^{2} - \frac{A C}{H N} = 1$ .

Xem đáp án

Lời giải

Cho đường tròn (O) và một điểm M nằm ngoài đường tròn. Từ điểm M kẻ hai tiếp tuyến MA, MB đến (O) (với A, B là các tiếp điểm). (ảnh 1)

a) Vì MA và MB là hai tiếp tuyến của đường tròn (O) nên $\hat{M A O} = 90 °$ và $\hat{M B O} = 90 ° .$

Xét tứ giác MAOB có: $\hat{M A O} + \hat{M B O} = 90 ° + 90 ° = 180 °,$ mà hai góc này đối nhau nên tứ giác MAOB nội tiếp.

b) Do C đối xứng với B qua O nên BC là đường kính, do đó $\hat{B A C} = 90 °$ hay $A B ⊥ A C .$

Ta có: OA = OB nên O nằm trên đường trung trực của AB.

MA = MB (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) nên M nằm trên đường trung trực của AB

Suy ra OM là đường trung trực của AB do đó $O M ⊥ A B .$

Khi đó $M N // A C$ (vì cùng vuông góc với AH) Do đó $\hat{D M N} = \hat{A C M}$ (so le trong).

Mà $\hat{M A D} = \hat{A C M}$ (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn $\overset{⏜}{A D}) .$

Suy ra $\hat{D M N} = \hat{M A D} .$

Xét $Δ M N D$ và $Δ A N M$ có: $\hat{N}$ là góc chung và $\hat{D M N} = \hat{M A N} = \hat{M A D} .$

Do đó $Δ M N D ∽ Δ A N M$ (g.g) $\Rightarrow \frac{M N}{N D} = \frac{N A}{M N} \Rightarrow M N^{2} = N D \cdot N A .$

c) Dễ dàng chứng minh được $Δ M A D ∽ Δ M C A$ (g.g) $\Rightarrow \frac{M A}{M C} = \frac{M D}{M A}$ $\Rightarrow M A^{2} = M D \cdot M C .$

Lại có $M A^{2} = M H \cdot M O$ (hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông MAO)

Do đó $M D \cdot M C = M H \cdot M O$ (cùng bằng $M A^{2})$

$\Rightarrow \frac{M D}{M O} = \frac{M H}{M C},$ mà $Δ M D H$ và $Δ M O C$ có $\hat{M}$ là góc chung.

Do đó $Δ M D H ∽ Δ M O C$ (g.g) nên $\hat{M H D} = \hat{M C O} .$

Mà $\hat{M C O} = \hat{D C B} = \hat{D A B} = \hat{D A H}$ (cùng chắn cung DB của đường tròn (O))

$\Rightarrow \hat{M H D} = \hat{D A H} .$

Lại có $\hat{M H D} + \hat{D H A} = 90 °$ nên $\hat{D A H} + \hat{D H A} = 90 °,$ suy ra $D H ⊥ N A .$

Do đó $H N^{2} = N D \cdot N A .$

Lại có $M N^{2} = N D \cdot N A$ (câu b) nên $H N^{2} = M N^{2} \Rightarrow H N = M N .$

Ta có $\frac{H A^{2}}{H D^{2}} = \frac{A D \cdot A N}{A D \cdot D N} = \frac{A N}{D N}$ và $\frac{A C}{H N} = \frac{A C}{M N} = \frac{A D}{D N}$ (hệ quả định lí Thalès)

Suy ra ${(\frac{H A}{H D})}^{2} - \frac{A C}{H N} = \frac{A N}{D N} - \frac{A D}{D N} = \frac{D N}{D N} = 1.$

Câu 2

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d) có phương trình y = ax + b

Tìm a, b để đường thẳng (d) có hệ số góc bằng 3 và đi qua điểm M (-1;2).

Xem đáp án

Lời giải

Đường thẳng $(d) : y = a x + b$ có hệ số góc là 3 nên a = 3.

Khi đó đường thẳng $(d) : y = 3 x + b$ đi qua M (-1;2) nên thay x = -1 và y = 2 ta được:

$2 = 3. (- 1) + b \Leftrightarrow b = 5$

Vậy a = 3 và b = 5

Câu 3

Giải hệ phương trình $\{\begin{cases} 3 x + y = 6 \\ x - y = - 2 \end{cases} .$

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

1) Giải phương trình $x^{2} - 3 x + 2 = 0.$

2) Cho phương trình $x^{2} - 2 m x - m^{2} - 2 = 0$ (mlà tham số). Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm $x_{1}, x_{2}$ (với $x_{1} < x_{2})$ thỏa mãn hệ thức $x_{2} - 2 |x_{1}| - 3 x_{1} x_{2} = 3 m^{2} + 3 m + 4.$

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Cho biểu thức $P = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 2} + \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 2} - \frac{2 + 5 \sqrt{x}}{x - 4}$ với $x \geq 0, x \neq 4.$

1) Rút gọn biểu thức P

2) Tìm tất cả các giá trị của x để P > 1.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Cho các số thực không âm x, y, z thỏa mãn 4x2+y2+4z2≤6y. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M=8x+32+16y+42+1z+12+2023.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d) có phương trình y = ax + b Tìm a, b để đường thẳng (d) có hệ số góc bằng 3 và đi qua điểm M (-1;2).

Giải hệ phương trình 3x+y=6x−y=−2.

1) Giải phương trình x2−3x+2=0. 2) Cho phương trình x2−2mx−m2−2=0 (mlà tham số). Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x1,x2 (với x1<x2) thỏa mãn hệ thức x2−2x1−3x1x2=3m2+3m+4.

Cho biểu thức P=xx+2+x+1x−2−2+5xx−4 với x≥0,x≠4. 1) Rút gọn biểu thức P 2) Tìm tất cả các giá trị của x để P > 1.

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho các số thực không âm x, y, z thỏa mãn $4 x^{2} + y^{2} + 4 z^{2} \leq 6 y$ .

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $M = \frac{8}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{16}{{(y + 4)}^{2}} + \frac{1}{{(z + 1)}^{2}} + 2023.$

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d) có phương trình y = ax + b

Tìm a, b để đường thẳng (d) có hệ số góc bằng 3 và đi qua điểm M (-1;2).

Giải hệ phương trình $\{\begin{cases} 3 x + y = 6 \\ x - y = - 2 \end{cases} .$

Cho biểu thức $P = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 2} + \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 2} - \frac{2 + 5 \sqrt{x}}{x - 4}$ với $x \geq 0, x \neq 4.$

1) Rút gọn biểu thức P

2) Tìm tất cả các giá trị của x để P > 1.