Ôn thi Cấp tốc 789+ vào 10 môn Toán (Đề 2)

1) ĐKXĐ: với $x\ge 0$ và $x\ne 4$.

$P =\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}+\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-2}-\frac{2+5\sqrt{x}}{x-4}$

$=\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)+\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}+2\right)-\left(2-5\sqrt{x}\right)}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}$

$=\frac{x-2\sqrt{x}+x+3\sqrt{x}+2-2-5\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}$

$=\frac{2x-4\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}$$=\frac{2\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}$$=\frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}.$

Vậy với $x\ge 0$ và $x\ne 4$ thì $P=\frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}.$

2) Theo ý 1) ta có $P=\frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}$ với $x\ge 0$ và $x\ne 4.$

Khi đó $P>1$$\iff \frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}>1$$\Rightarrow 2\sqrt{x}>\sqrt{x}+2$ (vì $\sqrt{x}+2>0$ với $x\ge 0)$

$\Rightarrow 2\sqrt{x}-\sqrt{x}>2$$\Rightarrow \sqrt{x}>2\Rightarrow x>4$ (thỏa mãn điều kiện).

Vậy x > 4 thì P > 1.

a) Theo bài ra ta có: $a=1;b=-3;c=2.$

Ta lại có: $a+b+c=1+\left(-3\right)+2=0.$

Nên phương trình có hai nghiệm: $x_1=1$ và $x_2=\frac{c}{a}=\frac{2}{1}=2.$

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S=\left\{1;2\right\}.$

b) Phương trình $x^2-2mx-m^2-2=0.$

Vì $a=1\ne 0$ và $ac=-m^2-2<0$ với mọi m nên phương trình có 2 nghiệm trái dấu với mọi m.

Mà $x_1<x_2$ nên $x_1<0<x_2$ suy ra $\left|x_1\right|=-x_1$ và $\left|x_2\right|=x_2.$

Khi đó theo định lí Vi-ét ta có: $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=2m\\ x_1.x_2=-m^2-2\left(*\right)\end{array}\right..$

Theo bài ta có: $x_2-2\left|x_1\right|-3x_1{x}_2=3m^2+3m+4$

$\iff x_2+2x_1-3x_1{x}_2=3m^2+3m+4$$\Rightarrow x_2+2x_1=3m-2$

Ta có: $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=2m\\ x_1+2x_2=3m-2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=2m\\ x_2=m-2\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}{x}_1+m-2=2m\\ x_2=m-2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{x}_1=m+2\\ x_2=m-2\end{array}\right.\right.$   

Thay vào (*) ta được: $\left(m+2\right)\left(m-2\right)=-m^2-2\iff m^2-4=-m^2-2$

$\iff 2m^2=2\iff m^2=1\iff m=\pm 1.$

Vậy $m=\pm 1.$

a) Vì MA và MB là hai tiếp tuyến của đường tròn (O) nên $\widehat{MAO}=90°$ và $\widehat{MBO}=90°.$

Xét tứ giác MAOB có: $\widehat{MAO}+\widehat{MBO}=90°+90°=180°,$ mà hai góc này đối nhau nên tứ giác MAOB nội tiếp.

b) Do C đối xứng với B qua O nên BC là đường kính, do đó $\widehat{BAC}=90°$ hay $AB\perp AC.$

Ta có: OA = OB nên O nằm trên đường trung trực của AB.

MA = MB (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) nên M nằm trên đường trung trực của AB

Suy ra OM là đường trung trực của AB do đó $OM\perp AB.$

Khi đó $MN\text{\hspace{0.17em}//\hspace{0.17em}}AC$ (vì cùng vuông góc với AH) Do đó $\widehat{DMN}=\widehat{ACM}$ (so le trong).

Mà $\widehat{MAD}=\widehat{ACM}$ (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn $\stackrel{⏜}{AD}).$

Suy ra $\widehat{DMN}=\widehat{MAD}.$

Xét $\text{Δ}MND$ và $\text{Δ}ANM$ có: $\widehat{N}$ là góc chung và $\widehat{DMN}=\widehat{MAN}=\widehat{MAD}.$

Do đó $\text{Δ}MND\backsim \text{Δ}ANM$ (g.g) $\Rightarrow \frac{MN}{ND}=\frac{NA}{MN}\Rightarrow M{N}^2=ND\cdot NA.$

c) Dễ dàng chứng minh được $\Delta MAD\backsim \Delta MCA$ (g.g) $\Rightarrow \frac{MA}{MC}=\frac{MD}{MA}$$\Rightarrow M{A}^2=MD\cdot MC.$ 

Lại có $M{A}^2=MH\cdot MO$ (hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông MAO)

Do đó $MD\cdot MC=MH\cdot MO$ (cùng bằng $M{A}^2)$

$\Rightarrow \frac{MD}{MO}=\frac{MH}{MC},$ mà $\Delta MDH$ và $\Delta MOC$ có $\widehat{M}$ là góc chung.

Do đó $\Delta MDH\backsim \Delta MOC$ (g.g) nên $\widehat{MHD}=\widehat{MCO}.$

Mà $\widehat{MCO}=\widehat{DCB}=\widehat{DAB}=\widehat{DAH}$ (cùng chắn cung DB  của đường tròn (O))

$\Rightarrow \widehat{MHD}=\widehat{DAH}.$

Lại có $\widehat{MHD}+\widehat{DHA}=90°$ nên $\widehat{DAH}+\widehat{DHA}=90°,$ suy ra $DH\perp NA.$

Do đó $H{N}^2=ND\cdot NA.$

Lại có $M{N}^2=ND\cdot NA$ (câu b) nên $H{N}^2=M{N}^2\Rightarrow HN=MN.$

Ta có $\frac{H{A}^2}{H{D}^2}=\frac{AD\cdot AN}{AD\cdot DN}=\frac{AN}{DN}$ và $\frac{AC}{HN}=\frac{AC}{MN}=\frac{AD}{DN}$ (hệ quả định lí Thalès)

Suy ra ${\left(\frac{HA}{HD}\right)}^2-\frac{AC}{HN}=\frac{AN}{DN}-\frac{AD}{DN}=\frac{DN}{DN}=1.$