Một cái chai có chứa một lượng nước, phần chứa nước là hình trụ có chiều cao 10cm, khi lật ngược chai lại thì phần không chứa nước cũng là một hình trụ có chiều cao 8 cm (như hình vẽ bên. Biết thể tích của chai là $450\pi {\text{cm}}^3$. Tính bán kính của đáy chai (giả sử độ dày của thành chai và đáy chai không đáng kể).

1) Xét tứ giác ABOC có:

$\widehat{ABO}=\widehat{ACO}=90°$ (AC, AB lần lượt là tiếp tuyến tại B, C của (O))

$\Rightarrow \widehat{ABO}+\widehat{ACO}=180°$

Vậy tứ giác ABOC nội tiếp (hai góc đối bù nhau).

2) Xét $\Delta ABF$ và $\Delta AEB$ có:

$\widehat{BAF}$ là góc chung

$\widehat{ABF}=\widehat{AEB}$ (cùng bằng $\frac{1}{2}sđ\stackrel{⏜}{AF}$ của (O))

Do đó $\Delta ABF\backsim \Delta AEB\left(g.g\right)$

$\Rightarrow \frac{AB}{AF}=\frac{AE}{AB}$ (tính chất hai tam giác đồng dạng)

$\Rightarrow A{B}^2=AE.AF$.

3) Xét (O) có AB, AC lần lượt là tiếp tuyến tại B, C của (O), $OA\cap BC=H$.

$\Rightarrow OA\perp BC$ tại H

Xét ABO vuông tại B, đường cao BH, ta có:$A{B}^2=AH.AO$

Do đó $AE.AF=AH.AO \left(=A{B}^2\right)$

$\Rightarrow \frac{AE}{AH}=\frac{AO}{AF}$

Xét AEO và AHF, ta có:

$\widehat{HAF}$ là góc chung

$\frac{AE}{AH}=\frac{AO}{AF}$

Do đó $\Delta AEO\backsim \Delta AHF\left(c.g.c\right)$ 

$\Rightarrow \widehat{AEO}=\widehat{AHF}$ (Hai góc tương ứng)

Mà $\widehat{AHF}+\widehat{FHO}=180°$ (hai góc kề bù)

Nên $\widehat{AEO}+\widehat{FHO}=180°$ hay $\widehat{FEO}+\widehat{FHO}=180°$

Suy ra tứ giác OHFE nội tiếp (Hai góc đối bù nhau)

$\Rightarrow \widehat{HFE}+\widehat{HOE}=180°$ (Tính chất tứ giác nội tiếp)

Kéo dài AO cắt (O) tại K (O nằm giữa A và K, ta có: $\widehat{KOE}+\widehat{HOE}=180°$)   

$\Rightarrow \widehat{KOE}=\widehat{HFE}$ (cùng bù $\widehat{HOE}$)

Xét (O), ta có:

$\widehat{EBC}=90°$ (Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) $\Rightarrow EB\perp BC$

Mặt khác, ta có $OA\perp BC$ tại H (cmt) $\Rightarrow AK\perp BC$ 

Do đó: EB // AK (cùng vuông góc với BC) $\Rightarrow \widehat{KOE}=\widehat{OEB}$ (Hai góc so le trong)

$\Rightarrow \widehat{KOE}=\widehat{CEB}$ 

Suy ra $\widehat{HFE}=\widehat{CEB}\left(=\widehat{KOE}\right)$

Xét (O), ta có: $\widehat{BFE}=\widehat{BCE}$ (cùng bằng $\frac{1}{2}sđ\stackrel{⏜}{BE}$ của (O))

Trong $\Delta EBC$ vuông tại B, ta có: $\widehat{BEC}+\widehat{BCE}=90°$

Ta có: $\widehat{BFH}=\widehat{BFE}+\widehat{HFE}=\widehat{BCE}+\widehat{BEC}=90°\Rightarrow HF\perp BI$ tại F

Xét tam giác BHI vuông tại H, đường cao HF, ta có:

$I{H}^2=IF.IB \left(1\right)$

Xét IAF và IBA, ta có:

$\widehat{AIF}$ là góc chung

$\widehat{IBA}=\widehat{IAF}$ ($\widehat{IBA}=\widehat{BEF}$ cùng chắn cung BF của (O), $\widehat{BEF}=\widehat{IAF}$là hai góc so le trong của EF // AK)

Vậy $\Delta IAF\backsim \Delta IBA\left(g.g\right)$

$\Rightarrow \frac{IA}{IB}=\frac{IF}{IA}\Rightarrow I{A}^2=IF.IB \left(2\right)$

Từ (1) và (2)

=> IH = IA hay i là trung điểm ah.