Từ hình vuông đầu tiên, bạn Hùng vẽ hình vuông thứ hai có các đỉnh là trung điểm của các cạnh hình vuông thứ nhất, vẽ tiếp hình vuông thứ ba có các đỉnh là trung điểm của các cạnh hình vuông thứ hai và cứ tiếp tục như vậy (xem hình minh họa bên). Giả sử hình vuông thứ bảy có diện tích bằng 32 cm². Tính diện tích hình vuông thứ năm.

1) Xét tứ giác ABOC có:

$\widehat{ABO}=\widehat{ACO}=90°$ (AC, AB lần lượt là tiếp tuyến tại B, C của (O))

$\Rightarrow \widehat{ABO}+\widehat{ACO}=180°$

Vậy tứ giác ABOC nội tiếp (hai góc đối bù nhau).

2) Xét $\Delta ABF$ và $\Delta AEB$ có:

$\widehat{BAF}$ là góc chung

$\widehat{ABF}=\widehat{AEB}$ (cùng bằng $\frac{1}{2}sđ\stackrel{⏜}{AF}$ của (O))

Do đó $\Delta ABF\backsim \Delta AEB\left(g.g\right)$

$\Rightarrow \frac{AB}{AF}=\frac{AE}{AB}$ (tính chất hai tam giác đồng dạng)

$\Rightarrow A{B}^2=AE.AF$.

3) Xét (O) có AB, AC lần lượt là tiếp tuyến tại B, C của (O), $OA\cap BC=H$.

$\Rightarrow OA\perp BC$ tại H

Xét ABO vuông tại B, đường cao BH, ta có:$A{B}^2=AH.AO$

Do đó $AE.AF=AH.AO \left(=A{B}^2\right)$

$\Rightarrow \frac{AE}{AH}=\frac{AO}{AF}$

Xét AEO và AHF, ta có:

$\widehat{HAF}$ là góc chung

$\frac{AE}{AH}=\frac{AO}{AF}$

Do đó $\Delta AEO\backsim \Delta AHF\left(c.g.c\right)$ 

$\Rightarrow \widehat{AEO}=\widehat{AHF}$ (Hai góc tương ứng)

Mà $\widehat{AHF}+\widehat{FHO}=180°$ (hai góc kề bù)

Nên $\widehat{AEO}+\widehat{FHO}=180°$ hay $\widehat{FEO}+\widehat{FHO}=180°$

Suy ra tứ giác OHFE nội tiếp (Hai góc đối bù nhau)

$\Rightarrow \widehat{HFE}+\widehat{HOE}=180°$ (Tính chất tứ giác nội tiếp)

Kéo dài AO cắt (O) tại K (O nằm giữa A và K, ta có: $\widehat{KOE}+\widehat{HOE}=180°$)   

$\Rightarrow \widehat{KOE}=\widehat{HFE}$ (cùng bù $\widehat{HOE}$)

Xét (O), ta có:

$\widehat{EBC}=90°$ (Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) $\Rightarrow EB\perp BC$

Mặt khác, ta có $OA\perp BC$ tại H (cmt) $\Rightarrow AK\perp BC$ 

Do đó: EB // AK (cùng vuông góc với BC) $\Rightarrow \widehat{KOE}=\widehat{OEB}$ (Hai góc so le trong)

$\Rightarrow \widehat{KOE}=\widehat{CEB}$ 

Suy ra $\widehat{HFE}=\widehat{CEB}\left(=\widehat{KOE}\right)$

Xét (O), ta có: $\widehat{BFE}=\widehat{BCE}$ (cùng bằng $\frac{1}{2}sđ\stackrel{⏜}{BE}$ của (O))

Trong $\Delta EBC$ vuông tại B, ta có: $\widehat{BEC}+\widehat{BCE}=90°$

Ta có: $\widehat{BFH}=\widehat{BFE}+\widehat{HFE}=\widehat{BCE}+\widehat{BEC}=90°\Rightarrow HF\perp BI$ tại F

Xét tam giác BHI vuông tại H, đường cao HF, ta có:

$I{H}^2=IF.IB \left(1\right)$

Xét IAF và IBA, ta có:

$\widehat{AIF}$ là góc chung

$\widehat{IBA}=\widehat{IAF}$ ($\widehat{IBA}=\widehat{BEF}$ cùng chắn cung BF của (O), $\widehat{BEF}=\widehat{IAF}$là hai góc so le trong của EF // AK)

Vậy $\Delta IAF\backsim \Delta IBA\left(g.g\right)$

$\Rightarrow \frac{IA}{IB}=\frac{IF}{IA}\Rightarrow I{A}^2=IF.IB \left(2\right)$

Từ (1) và (2)

=> IH = IA hay i là trung điểm ah.

Gọi R (cm) là bán kính đáy chai (R > 0).

Thể tích nước trong chai (hình trụ có chiều cao 10 cm) là:

$V_2=\pi R^2.h_2=8\pi R^2 \left({\text{cm}}^3\right)$

Thể tích không chứa nước trong chai khi lật ngược chai (hình trụ có chiều cao 8 cm) là:

$V_2=\pi R^2.h_2=8\pi R^2 \left({\text{cm}}^3\right)$

Thể tích của chai $\left(450\pi {\text{cm}}^3\right)$ là tổng thể tích của nước và phần không chứa nước trong chai khi lật ngược chai lại, nên ta có: $V_1+V_2=450\pi$

$$\begin{gathered} \iff 10\pi R^2+8\pi R^2=450\pi \\ \iff 18\pi R^2=450\pi \end{gathered}$$

$\iff R^2=25$

$\Rightarrow R=5$ (do R > 0)

Vậy bán kính của đáy chai là 5 cm.