Giải phương trình và hệ phương trình sau: $x^2+2x-3=0$

1) Xét tứ giác ABOC có:

$\widehat{ABO}=\widehat{ACO}=90°$ (AC, AB lần lượt là tiếp tuyến tại B, C của (O))

$\Rightarrow \widehat{ABO}+\widehat{ACO}=180°$

Vậy tứ giác ABOC nội tiếp (hai góc đối bù nhau).

2) Xét $\Delta ABF$ và $\Delta AEB$ có:

$\widehat{BAF}$ là góc chung

$\widehat{ABF}=\widehat{AEB}$ (cùng bằng $\frac{1}{2}sđ\stackrel{⏜}{AF}$ của (O))

Do đó $\Delta ABF\backsim \Delta AEB\left(g.g\right)$

$\Rightarrow \frac{AB}{AF}=\frac{AE}{AB}$ (tính chất hai tam giác đồng dạng)

$\Rightarrow A{B}^2=AE.AF$.

3) Xét (O) có AB, AC lần lượt là tiếp tuyến tại B, C của (O), $OA\cap BC=H$.

$\Rightarrow OA\perp BC$ tại H

Xét ABO vuông tại B, đường cao BH, ta có:$A{B}^2=AH.AO$

Do đó $AE.AF=AH.AO \left(=A{B}^2\right)$

$\Rightarrow \frac{AE}{AH}=\frac{AO}{AF}$

Xét AEO và AHF, ta có:

$\widehat{HAF}$ là góc chung

$\frac{AE}{AH}=\frac{AO}{AF}$

Do đó $\Delta AEO\backsim \Delta AHF\left(c.g.c\right)$ 

$\Rightarrow \widehat{AEO}=\widehat{AHF}$ (Hai góc tương ứng)

Mà $\widehat{AHF}+\widehat{FHO}=180°$ (hai góc kề bù)

Nên $\widehat{AEO}+\widehat{FHO}=180°$ hay $\widehat{FEO}+\widehat{FHO}=180°$

Suy ra tứ giác OHFE nội tiếp (Hai góc đối bù nhau)

$\Rightarrow \widehat{HFE}+\widehat{HOE}=180°$ (Tính chất tứ giác nội tiếp)

Kéo dài AO cắt (O) tại K (O nằm giữa A và K, ta có: $\widehat{KOE}+\widehat{HOE}=180°$)   

$\Rightarrow \widehat{KOE}=\widehat{HFE}$ (cùng bù $\widehat{HOE}$)

Xét (O), ta có:

$\widehat{EBC}=90°$ (Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) $\Rightarrow EB\perp BC$

Mặt khác, ta có $OA\perp BC$ tại H (cmt) $\Rightarrow AK\perp BC$ 

Do đó: EB // AK (cùng vuông góc với BC) $\Rightarrow \widehat{KOE}=\widehat{OEB}$ (Hai góc so le trong)

$\Rightarrow \widehat{KOE}=\widehat{CEB}$ 

Suy ra $\widehat{HFE}=\widehat{CEB}\left(=\widehat{KOE}\right)$

Xét (O), ta có: $\widehat{BFE}=\widehat{BCE}$ (cùng bằng $\frac{1}{2}sđ\stackrel{⏜}{BE}$ của (O))

Trong $\Delta EBC$ vuông tại B, ta có: $\widehat{BEC}+\widehat{BCE}=90°$

Ta có: $\widehat{BFH}=\widehat{BFE}+\widehat{HFE}=\widehat{BCE}+\widehat{BEC}=90°\Rightarrow HF\perp BI$ tại F

Xét tam giác BHI vuông tại H, đường cao HF, ta có:

$I{H}^2=IF.IB \left(1\right)$

Xét IAF và IBA, ta có:

$\widehat{AIF}$ là góc chung

$\widehat{IBA}=\widehat{IAF}$ ($\widehat{IBA}=\widehat{BEF}$ cùng chắn cung BF của (O), $\widehat{BEF}=\widehat{IAF}$là hai góc so le trong của EF // AK)

Vậy $\Delta IAF\backsim \Delta IBA\left(g.g\right)$

$\Rightarrow \frac{IA}{IB}=\frac{IF}{IA}\Rightarrow I{A}^2=IF.IB \left(2\right)$

Từ (1) và (2)

=> IH = IA hay i là trung điểm ah.

Gọi R (cm) là bán kính đáy chai (R > 0).

Thể tích nước trong chai (hình trụ có chiều cao 10 cm) là:

$V_2=\pi R^2.h_2=8\pi R^2 \left({\text{cm}}^3\right)$

Thể tích không chứa nước trong chai khi lật ngược chai (hình trụ có chiều cao 8 cm) là:

$V_2=\pi R^2.h_2=8\pi R^2 \left({\text{cm}}^3\right)$

Thể tích của chai $\left(450\pi {\text{cm}}^3\right)$ là tổng thể tích của nước và phần không chứa nước trong chai khi lật ngược chai lại, nên ta có: $V_1+V_2=450\pi$

$$\begin{gathered} \iff 10\pi R^2+8\pi R^2=450\pi \\ \iff 18\pi R^2=450\pi \end{gathered}$$

$\iff R^2=25$

$\Rightarrow R=5$ (do R > 0)

Vậy bán kính của đáy chai là 5 cm.