Câu hỏi:

13/07/2024 36,723

Cho đường tròn (O) và điểm A nằm bên ngoài đường tròn, từ A vẽ hai tiếp tuyến AB, AC (B, C là hai tiếp điểm).

1) Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp.

2) Vẽ đường kính CE, nối AE cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là F.

Chứng minh AB² = AE.AF.

3) Cho OA cắt BC tại H, BF cắt OA tại I. Chứng minh I là trung điểm của AH.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Ôn thi Cấp tốc 789+ vào 10 môn Toán (Đề 10) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Cho đường tròn (O) và điểm A nằm bên ngoài đường tròn, từ A vẽ hai tiếp tuyến AB, AC (B, C là hai tiếp điểm). 1) Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp. (ảnh 1)

1) Xét tứ giác ABOC có:

$\hat{A B O} = \hat{A C O} = 90 °$ (AC, AB lần lượt là tiếp tuyến tại B, C của (O))

$\Rightarrow \hat{A B O} + \hat{A C O} = 180 °$

Vậy tứ giác ABOC nội tiếp (hai góc đối bù nhau).

2) Xét $Δ A B F$ và $Δ A E B$ có:

$\hat{B A F}$ là góc chung

$\hat{A B F} = \hat{A E B}$ (cùng bằng $\frac{1}{2} s đ \overset{⏜}{A F}$ của (O))

Do đó $Δ A B F ∽ Δ A E B (g . g)$

$\Rightarrow \frac{A B}{A F} = \frac{A E}{A B}$ (tính chất hai tam giác đồng dạng)

$\Rightarrow A B^{2} = A E . A F$ .

3) Xét (O) có AB, AC lần lượt là tiếp tuyến tại B, C của (O), $O A \cap B C = H$ .

$\Rightarrow O A ⊥ B C$ tại H

Xét ABO vuông tại B, đường cao BH, ta có: $A B^{2} = A H . A O$

Do đó $A E . A F = A H . A O (= A B^{2})$

$\Rightarrow \frac{A E}{A H} = \frac{A O}{A F}$

Xét AEO và AHF, ta có:

$\hat{H A F}$ là góc chung

$\frac{A E}{A H} = \frac{A O}{A F}$

Do đó $Δ A E O ∽ Δ A H F (c . g . c)$

$\Rightarrow \hat{A E O} = \hat{A H F}$ (Hai góc tương ứng)

Mà $\hat{A H F} + \hat{F H O} = 180 °$ (hai góc kề bù)

Nên $\hat{A E O} + \hat{F H O} = 180 °$ hay $\hat{F E O} + \hat{F H O} = 180 °$

Suy ra tứ giác OHFE nội tiếp (Hai góc đối bù nhau)

$\Rightarrow \hat{H F E} + \hat{H O E} = 180 °$ (Tính chất tứ giác nội tiếp)

Kéo dài AO cắt (O) tại K (O nằm giữa A và K, ta có: $\hat{K O E} + \hat{H O E} = 180 °$ )

$\Rightarrow \hat{K O E} = \hat{H F E}$ (cùng bù $\hat{H O E}$ )

Xét (O), ta có:

$\hat{E B C} = 90 °$ (Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) $\Rightarrow E B ⊥ B C$

Mặt khác, ta có $O A ⊥ B C$ tại H (cmt) $\Rightarrow A K ⊥ B C$

Do đó: EB // AK (cùng vuông góc với BC) $\Rightarrow \hat{K O E} = \hat{O E B}$ (Hai góc so le trong)

$\Rightarrow \hat{K O E} = \hat{C E B}$

Suy ra $\hat{H F E} = \hat{C E B} (= \hat{K O E})$

Xét (O), ta có: $\hat{B F E} = \hat{B C E}$ (cùng bằng $\frac{1}{2} s đ \overset{⏜}{B E}$ của (O))

Trong $Δ E B C$ vuông tại B, ta có: $\hat{B E C} + \hat{B C E} = 90 °$

Ta có: $\hat{B F H} = \hat{B F E} + \hat{H F E} = \hat{B C E} + \hat{B E C} = 90 ° \Rightarrow H F ⊥ B I$ tại F

Xét tam giác BHI vuông tại H, đường cao HF, ta có:

$I H^{2} = I F . I B (1)$

Xét IAF và IBA, ta có:

$\hat{A I F}$ là góc chung

$\hat{I B A} = \hat{I A F}$ ( $\hat{I B A} = \hat{B E F}$ cùng chắn cung BF của (O), $\hat{B E F} = \hat{I A F}$ là hai góc so le trong của EF // AK)

Vậy $Δ I A F ∽ Δ I B A (g . g)$

$\Rightarrow \frac{I A}{I B} = \frac{I F}{I A} \Rightarrow I A^{2} = I F . I B (2)$

Từ (1) và (2)

=> IH = IA hay i là trung điểm ah.

Hot: 500+ Đề thi vào 10 file word các Sở Hà Nội, TP Hồ Chí Minh có đáp án 2025 (chỉ từ 100k). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

Cấp tốc 789+ thi vào lớp 10 môn Toán

Đã bán 261

₫ 195.000 ₫ 95.000

Hà Nội

Cấp tốc 789+ thi vào lớp 10 môn Ngữ Văn

Đã bán 111

₫ 180.000 ₫ 97.000

Hà Nội

Lớp 9 - Siêu trọng tâm Toán, Văn, Anh

Đã bán 411

₫ 180.000 ₫ 97.000

Hà Nội

Cấp tốc 789+ thi vào lớp 10 môn Tiếng Anh

Đã bán 1k

₫ 180.000 ₫ 97.000

Hà Nội

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Một cái chai có chứa một lượng nước, phần chứa nước là hình trụ có chiều cao 10cm, khi lật ngược chai lại thì phần không chứa nước cũng là một hình trụ có chiều cao 8 cm (như hình vẽ bên. Biết thể tích của chai là $450 π {cm}^{3}$ . Tính bán kính của đáy chai (giả sử độ dày của thành chai và đáy chai không đáng kể).

Xem đáp án » 13/07/2024 12,603

Câu 2:

Một công ty dự định thuê một số xe lớn cùng loại để chở vừa hết 210 người đi du lịch Mũi Né. Nhưng thực tế, công ty lại thuê toàn bộ xe nhỏ hơn cùng loại. Biết rằng số xe nhỏ phải thuê nhiều hơn số xe lớn là 2 chiếc thì mới chở vừa hết số người trên và mỗi xe nhỏ chở ít hơn mỗi xe lớn là 12 người. Tính số xe nhỏ đã thuê.

Xem đáp án » 13/07/2024 11,515

Câu 3:

Cho hàm số y = x² có đồ thị (P).

1) Vẽ đồ thị (P) trên mặt phẳng tọa độ Oxy.

2) Tìm giá trị nguyên của tham số m để đường thẳng $(d) : y = 2 m x - m^{2} + 1$ cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là x₁ , x₂ thỏa mãn x₁ < 2024 < x₂.

Xem đáp án » 13/07/2024 4,517

Câu 4:

Giải phương trình và hệ phương trình sau: $x^{2} + 2 x - 3 = 0$

Xem đáp án » 13/07/2024 4,330

Câu 5:

Từ hình vuông đầu tiên, bạn Hùng vẽ hình vuông thứ hai có các đỉnh là trung điểm của các cạnh hình vuông thứ nhất, vẽ tiếp hình vuông thứ ba có các đỉnh là trung điểm của các cạnh hình vuông thứ hai và cứ tiếp tục như vậy (xem hình minh họa bên). Giả sử hình vuông thứ bảy có diện tích bằng 32 cm². Tính diện tích hình vuông thứ năm.

Xem đáp án » 13/07/2024 2,211

Câu 6:

Giải phương trình và hệ phương trình sau: $\{\begin{matrix} - x + 3 y = 5 \\ x + y = 3 \end{matrix}$

Xem đáp án » 13/07/2024 1,506

Xem thêm các câu hỏi khác »

Hỏi bài tập

Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

Bình luận

Cho hàm số y = x2 có đồ thị (P). 1) Vẽ đồ thị (P) trên mặt phẳng tọa độ Oxy. 2) Tìm giá trị nguyên của tham số m để đường thẳng d:y=2mx−m2+1 cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là x1 , x2 thỏa mãn x1 < 2024 < x2.

Giải phương trình và hệ phương trình sau: x2+2x−3=0

Giải phương trình và hệ phương trình sau: −x+3y=5x+y=3

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Giải phương trình và hệ phương trình sau: $x^{2} + 2 x - 3 = 0$

Giải phương trình và hệ phương trình sau: $\{\begin{matrix} - x + 3 y = 5 \\ x + y = 3 \end{matrix}$