Câu hỏi:

13/07/2024 37,502

Cho đường tròn (O) và điểm A nằm bên ngoài đường tròn, từ A vẽ hai tiếp tuyến AB, AC (B, C là hai tiếp điểm).

1) Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp.

2) Vẽ đường kính CE, nối AE cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là F.

Chứng minh AB² = AE.AF.

3) Cho OA cắt BC tại H, BF cắt OA tại I. Chứng minh I là trung điểm của AH.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Ôn thi Cấp tốc 789+ vào 10 môn Toán (Đề 10) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Cho đường tròn (O) và điểm A nằm bên ngoài đường tròn, từ A vẽ hai tiếp tuyến AB, AC (B, C là hai tiếp điểm). 1) Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp. (ảnh 1)

1) Xét tứ giác ABOC có:

$\hat{A B O} = \hat{A C O} = 90 °$ (AC, AB lần lượt là tiếp tuyến tại B, C của (O))

$\Rightarrow \hat{A B O} + \hat{A C O} = 180 °$

Vậy tứ giác ABOC nội tiếp (hai góc đối bù nhau).

2) Xét $Δ A B F$ và $Δ A E B$ có:

$\hat{B A F}$ là góc chung

$\hat{A B F} = \hat{A E B}$ (cùng bằng $\frac{1}{2} s đ \overset{⏜}{A F}$ của (O))

Do đó $Δ A B F ∽ Δ A E B (g . g)$

$\Rightarrow \frac{A B}{A F} = \frac{A E}{A B}$ (tính chất hai tam giác đồng dạng)

$\Rightarrow A B^{2} = A E . A F$ .

3) Xét (O) có AB, AC lần lượt là tiếp tuyến tại B, C của (O), $O A \cap B C = H$ .

$\Rightarrow O A ⊥ B C$ tại H

Xét ABO vuông tại B, đường cao BH, ta có: $A B^{2} = A H . A O$

Do đó $A E . A F = A H . A O (= A B^{2})$

$\Rightarrow \frac{A E}{A H} = \frac{A O}{A F}$

Xét AEO và AHF, ta có:

$\hat{H A F}$ là góc chung

$\frac{A E}{A H} = \frac{A O}{A F}$

Do đó $Δ A E O ∽ Δ A H F (c . g . c)$

$\Rightarrow \hat{A E O} = \hat{A H F}$ (Hai góc tương ứng)

Mà $\hat{A H F} + \hat{F H O} = 180 °$ (hai góc kề bù)

Nên $\hat{A E O} + \hat{F H O} = 180 °$ hay $\hat{F E O} + \hat{F H O} = 180 °$

Suy ra tứ giác OHFE nội tiếp (Hai góc đối bù nhau)

$\Rightarrow \hat{H F E} + \hat{H O E} = 180 °$ (Tính chất tứ giác nội tiếp)

Kéo dài AO cắt (O) tại K (O nằm giữa A và K, ta có: $\hat{K O E} + \hat{H O E} = 180 °$ )

$\Rightarrow \hat{K O E} = \hat{H F E}$ (cùng bù $\hat{H O E}$ )

Xét (O), ta có:

$\hat{E B C} = 90 °$ (Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) $\Rightarrow E B ⊥ B C$

Mặt khác, ta có $O A ⊥ B C$ tại H (cmt) $\Rightarrow A K ⊥ B C$

Do đó: EB // AK (cùng vuông góc với BC) $\Rightarrow \hat{K O E} = \hat{O E B}$ (Hai góc so le trong)

$\Rightarrow \hat{K O E} = \hat{C E B}$

Suy ra $\hat{H F E} = \hat{C E B} (= \hat{K O E})$

Xét (O), ta có: $\hat{B F E} = \hat{B C E}$ (cùng bằng $\frac{1}{2} s đ \overset{⏜}{B E}$ của (O))

Trong $Δ E B C$ vuông tại B, ta có: $\hat{B E C} + \hat{B C E} = 90 °$

Ta có: $\hat{B F H} = \hat{B F E} + \hat{H F E} = \hat{B C E} + \hat{B E C} = 90 ° \Rightarrow H F ⊥ B I$ tại F

Xét tam giác BHI vuông tại H, đường cao HF, ta có:

$I H^{2} = I F . I B (1)$

Xét IAF và IBA, ta có:

$\hat{A I F}$ là góc chung

$\hat{I B A} = \hat{I A F}$ ( $\hat{I B A} = \hat{B E F}$ cùng chắn cung BF của (O), $\hat{B E F} = \hat{I A F}$ là hai góc so le trong của EF // AK)

Vậy $Δ I A F ∽ Δ I B A (g . g)$

$\Rightarrow \frac{I A}{I B} = \frac{I F}{I A} \Rightarrow I A^{2} = I F . I B (2)$

Từ (1) và (2)

=> IH = IA hay i là trung điểm ah.

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Một cái chai có chứa một lượng nước, phần chứa nước là hình trụ có chiều cao 10cm, khi lật ngược chai lại thì phần không chứa nước cũng là một hình trụ có chiều cao 8 cm (như hình vẽ bên. Biết thể tích của chai là $450 π {cm}^{3}$ . Tính bán kính của đáy chai (giả sử độ dày của thành chai và đáy chai không đáng kể).

Xem đáp án

Lời giải

Gọi R (cm) là bán kính đáy chai (R > 0).

Thể tích nước trong chai (hình trụ có chiều cao 10 cm) là:

$V_{2} = π R^{2} . h_{2} = 8 π R^{2} ({cm}^{3})$

Thể tích không chứa nước trong chai khi lật ngược chai (hình trụ có chiều cao 8 cm) là:

$V_{2} = π R^{2} . h_{2} = 8 π R^{2} ({cm}^{3})$

Thể tích của chai $(450 π {cm}^{3})$ là tổng thể tích của nước và phần không chứa nước trong chai khi lật ngược chai lại, nên ta có: $V_{1} + V_{2} = 450 π$

$\Leftrightarrow 10 π R^{2} + 8 π R^{2} = 450 π \Leftrightarrow 18 π R^{2} = 450 π$

$\Leftrightarrow R^{2} = 25$

$\Rightarrow R = 5$ (do R > 0)

Vậy bán kính của đáy chai là 5 cm.

Câu 2

Một công ty dự định thuê một số xe lớn cùng loại để chở vừa hết 210 người đi du lịch Mũi Né. Nhưng thực tế, công ty lại thuê toàn bộ xe nhỏ hơn cùng loại. Biết rằng số xe nhỏ phải thuê nhiều hơn số xe lớn là 2 chiếc thì mới chở vừa hết số người trên và mỗi xe nhỏ chở ít hơn mỗi xe lớn là 12 người. Tính số xe nhỏ đã thuê.

Xem đáp án

Lời giải

Gọi số xe nhỏ (chiếc) công ty đã thuê là $x (x \in ℕ, x > 2)$ .

Do đó số xe lớn (chiếc) công ty dự định thuê là x - 2.

Số xe lớn và nhỏ đều chở vừa hết 210 người nên:

Số người trên xe nhỏ là: $\frac{210}{x}$ (người)

Số người trên xe lớn là: $\frac{210}{x - 2}$ (người)

Theo đề mỗi xe nhỏ chở ít hơn mỗi xe lớn là 12 người, nên ta có phương trình:

$\frac{210}{x - 2} - \frac{210}{x} = 12 \Leftrightarrow 210 x - 210 (x - 2) = 12 x (x - 2) \Leftrightarrow 210 x - 210 x + 420 = 12 x^{2} - 24 x \Leftrightarrow 12 x^{2} - 24 x - 420 = 0 \Leftrightarrow 12 (x - 7) (x + 5) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x - 7 = 0 \\ x + 5 = 0 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = 7 & (nhan) \\ x = - 5 & (loai) \end{matrix}$