Một tàu đổ bộ tiếp cận Mặt Trăng theo cách tiếp cận thẳng đứng và đốt cháy các tên lửa hãm ở độ cao 250 km so với bề mặt của Mặt Trăng.

Trong khoảng 50 giây đầu tiên kể từ khi đốt cháy các tên lửa hãm, độ cao h của con tàu so với bề mặt của Mặt Trăng được tính (gần đúng) bởi hàm

h(t) = – 0,01t³ + 1,1t² – 30t + 250,

trong đó t là thời gian tính bằng giây và h là độ cao tính bằng kilômét (Nguồn: A. Bigalke et al., Mathematik, Grundkurs ma-1, Cornelsen 2016).

a) Tìm thời điểm t (0 ≤ t ≤ 50) sao cho con tàu đạt khoảng cách nhỏ nhất so với bề mặt của Mặt Trăng. Khoảng cách nhỏ nhất này là bao nhiêu?

b) Vẽ đồ thị của hàm số y = h(t) với 0 ≤ t ≤ 70 (đơn vị trên trục hoành là 10 giây, đơn vị trên trục tung là 50 km).

Ÿ Tập xác định của hàm số đã cho là ℝ.

Ÿ Ta có y' = 2x – 2;

          y' = 0 ⇔ 2x – 2 = 0 ⇔ x = 1.

Bảng biến thiên của hàm số như sau:

Ÿ Vẽ đồ thị hàm số:

Hàm số y = x² – 2x – 3 là hàm số bậc hai nên đồ thị của nó là một parabol có:

+ Đỉnh I(1; – 4);

+ Giao với trục hoành tại các điểm A(3; 0) và B(– 1; 0);

+ Giao với trục tung tại điểm C(0; – 3).

Ta vẽ được đồ thị hàm số đã cho như sau:

Xét hàm số Q(t) =  $-\frac{1}{5}{t}^3+5t^2+100$ với t ∈ [0; 20].

Ta có Q'(t) =  $-\frac{3}{5}{t}^2+10t$;

Q'(t) = 0  $\iff -\frac{3}{5}{t}^2+10t=0\iff t=\frac{50}{3}$ hoặc t = 0.

Bảng biến thiên của hàm số trên đoạn [0; 20] như sau:

Từ bảng biến thiên suy ra  $\underset{\left[0;20\right]}{\max }Q\left(t\right)=\frac{15200}{27}$ tại  $t=\frac{50}{3}$, tức là lưu lượng nước của con sông lớn nhất là  $\frac{15200}{27}$ m³/phút tại thời điểm  $t=\frac{50}{3}$ phút.

Cảnh báo lũ được đưa ra khi lưu lượng nước của con sông lên đến 550 m³/phút, tức là Q(t) ≥ 550 ⇔  $-\frac{1}{5}{t}^3+5t^2+100$ ≥ 550 ⇔  $-\frac{1}{5}{t}^3+5t^2-450$≥ 0  $\iff \left[\begin{array}{l}t\le 5-5\sqrt{7}\\ 15\le t\le 5+5\sqrt{7}\end{array}\right.$.

Lại có t ∈ [0; 20] nên  $15\le t\le 5+5\sqrt{7}$.

Vậy tại thời điểm t ∈ [15; 5 +  $5\sqrt{7}$] phút thì cảnh báo lũ được đưa ra.