Xét phản ứng hóa học tạo ra chất C từ hai chất A và B:

A + B → C.

Giả sử nồng độ của hai chất A và B bằng nhau [A] = [B] = a (mol/l). Khi đó, nồng độ của chất C theo thời gian t (t > 0) được cho bởi công thức: [C] =  $\frac{a^{2}Kt}{aKt+1}$ (mol/l), trong đó K là hằng số dương (Nguồn: Đỗ Đức Thái (Chủ biên) và các đồng tác giả, Giáo trình Phép tính vi tích phân hàm một biến, NXB Đại học Sư phạm, 2023).

a) Tìm tốc độ phản ứng ở thời điểm t > 0.

b) Chứng minh nếu x = [C] thì x'(t) = K(a – x)².

a) Xét hàm số h(t) = – 0,01t³ + 1,1t² – 30t + 250 với t ∈ [0; 50].

Ta có h'(t) = – 0,03t² + 2,2t – 30;

Trên khoảng (0; 50), h'(t) = 0 khi t ≈ 18.

h(0) = 250; h(18) = 8,08; h(50) = 250.

Do đó,  $\underset{\left[0;50\right]}{\min }h\left(t\right)=8,08$ tại t = 18.

Vậy tại thời điểm t = 18 giây thì con tàu đạt khoảng cách nhỏ nhất so với bề mặt của Mặt Trăng và khoảng cách nhỏ nhất này bằng 8,08 km.

b) Xét hàm số h(t) = – 0,01t³ + 1,1t² – 30t + 250 với t ∈ [0; 70].

Ta có h'(t) = – 0,03t² + 2,2t – 30;

Trên khoảng (0; 70), h'(t) = 0 khi t ≈ 18 hoặc t ≈ 55.

Bảng biến thiên của hàm số h(t) như sau:

Trên khoảng (0; 70), đồ thị hàm số h(t) đi qua các điểm (0; 250), (10; 50), (50; 250) và (60; 250).

Xét hàm số Q(t) =  $-\frac{1}{5}{t}^3+5t^2+100$ với t ∈ [0; 20].

Ta có Q'(t) =  $-\frac{3}{5}{t}^2+10t$;

Q'(t) = 0  $\iff -\frac{3}{5}{t}^2+10t=0\iff t=\frac{50}{3}$ hoặc t = 0.

Bảng biến thiên của hàm số trên đoạn [0; 20] như sau:

Từ bảng biến thiên suy ra  $\underset{\left[0;20\right]}{\max }Q\left(t\right)=\frac{15200}{27}$ tại  $t=\frac{50}{3}$, tức là lưu lượng nước của con sông lớn nhất là  $\frac{15200}{27}$ m³/phút tại thời điểm  $t=\frac{50}{3}$ phút.

Cảnh báo lũ được đưa ra khi lưu lượng nước của con sông lên đến 550 m³/phút, tức là Q(t) ≥ 550 ⇔  $-\frac{1}{5}{t}^3+5t^2+100$ ≥ 550 ⇔  $-\frac{1}{5}{t}^3+5t^2-450$≥ 0  $\iff \left[\begin{array}{l}t\le 5-5\sqrt{7}\\ 15\le t\le 5+5\sqrt{7}\end{array}\right.$.

Lại có t ∈ [0; 20] nên  $15\le t\le 5+5\sqrt{7}$.

Vậy tại thời điểm t ∈ [15; 5 +  $5\sqrt{7}$] phút thì cảnh báo lũ được đưa ra.