a) Chứng minh rằng hàm số $F\left(x\right)=\frac{x^4}{4}$ là một nguyên hàm của hàm số f(x) = x³ trên ℝ.

Hàm số nào dưới đây là một nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=x+\frac{1}{x}$ trên khoảng (0; +∞).

a) $F\left(x\right)=\frac{1}{2}{x}^2+\ln x$;                                  b) $G\left(x\right)=\frac{x^2}{2}-\ln x$.

Cho f(x) và g(x) là hai hàm số liên tục trên K. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x), G(x) là một nguyên hàm của g(x) trên K.

a) Chứng minh F(x) + G(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) + g(x) trên K.

b) Nêu nhận xét về $\int \left[f\left(x\right)+g\left(x\right)\right]dx$ và $\int f\left(x\right)dx+\int g\left(x\right)dx$.

Một máy bay di chuyển ra đến đường băng và bắt đầu chạy đà để cất cánh. Giả sử vận tốc của máy bay khi chạy đà được cho bởi v(t) = 5 + 3t (m/s), với t là thời gian (tính bằng giây) kể từ khi máy bay bắt đầu chạy đà. Sau 30 giây thì máy bay cất cánh rời đường băng. Quãng đường máy bay đã di chuyển kể từ khi bắt đầu chạy đà đến khi rời đường băng là bao nhiêu mét?

Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

a) f(x) = 3x² + 2x – 1;                                   b) f(x) = x³ – x;

Tìm:

a) $\int \left(3\cos x-4\sin x\right)dx$;                                b) $\int \left(\frac{1}{{\cos }^{2}x}-\frac{1}{{\sin }^{2}x}\right)dx$.

Cho hàm số f(x) = xⁿ (n ∈ ℕ*).

a) Chứng minh rằng hàm số $F\left(x\right)=\frac{x^{n+1}}{n+1}$ là một nguyên hàm của hàm số f(x). Từ đó tìm $\int x^{n}dx$.

b) Từ kết quả câu a, tìm $\int k{x}^{n}dx$ (k là hằng số thực khác 0).

Tìm

a) $\int \left(3x^2+1\right)dx$;                                          b) $\int {\left(2x-1\right)}^{2}dx$.