Cho f(x) và g(x) là hai hàm số liên tục trên K. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x), G(x) là một nguyên hàm của g(x) trên K.

a) Chứng minh F(x) + G(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) + g(x) trên K.

b) Nêu nhận xét về $\int [f (x) + g (x)] d x$ và $\int f (x) d x + \int g (x) d x$ .

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Giải SGK Toán 12 KNTT Bài 11. Nguyên hàm có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

a) Vì F(x) là một nguyên hàm của f(x) nên F'(x) = f(x) và G(x) là một nguyên hàm của g(x) nên G'(x) = g(x).

Ta có (F(x) + G(x))' = F'(x) + G'(x) = f(x) + g(x).

Do đó F(x) + G(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) + g(x) trên K.

b) Ta có $\int {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]} dx = F\left( x \right) + G\left( x \right) + C$ với C là hằng số bất kì.

Có $\int {f\left( x \right)dx = F\left( x \right) + {C_1};\int {g\left( x \right)} } dx = G\left( x \right) + {C_2}$ với C₁; C₂ là các hằng số bất kì.

Do đó \[\int {f\left( x \right)dx + \int {g\left( x \right)} } dx = F\left( x \right) + {C_1} + G\left( x \right) + {C_2} = F\left( x \right) + G\left( x \right) + \left( {{C_1} + {C_2}} \right)\].

Ta có thể biểu diễn C = C₁ + C₂.

Do đó \[\int {f\left( x \right)dx + \int {g\left( x \right)} } dx = F\left( x \right) + G\left( x \right) + C\].

Vậy $\int {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]} dx = \int {f\left( x \right)dx + \int {g\left( x \right)} } dx$.

Hot: Danh sách các trường đã công bố điểm chuẩn Đại học 2025 (mới nhất) (2025). Xem ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Một viên đạn được bắn thẳng đứng lên trên từ mặt đất. Giả sử tại thời điểm t giây (coi t = 0 là thời điểm viên đạn được bắn lên), vận tốc của nó được cho bởi v(t) = 160 – 9,8t (m/s). Tìm độ cao của viên đạn (tính từ mặt đất):

a) Sau t = 5 giây;

b) Khi nó đạt độ cao lớn nhất (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).

Xem đáp án

Lời giải

Gọi S(t) là độ cao của viên đạn bắn lên từ mặt đất sau t giây kể từ thời điểm đạn được bắn lên.

Khi đó $S\left( t \right) = \int {v\left( t \right)dt = \int {\left( {160 - 9,8t} \right)dt = 160t - 4,9{t^2}} + C} $.

Vì S(0) = 0 nên 160.0 – 4,9.0 + C = 0 Þ C = 0.

Do đó S(t) = −4,9t² + 160 t.

a) Sau 5 giây độ cao của viên đạn là: S(5) = −4,9.5² + 160.5 = 677,5 (m).

b) Có S(t) = −4,9t² + 160 t

= $ - \frac{1}{{10}}\left( {49{t^2} - 2.7t.\frac{{800}}{7} + \frac{{640000}}{{49}}} \right) + \frac{{64000}}{{49}}$

$ - \frac{1}{{10}}{\left( {7t - \frac{{800}}{7}} \right)^2} + \frac{{64000}}{{49}} \le \frac{{64000}}{{49}}$.

Viên đạn đạt độ cao lớn nhất là $\frac{{64000}}{{49}} \approx 1306,1$ m khi $t = \frac{{800}}{{49}}$ giây.

Câu 2

Tìm:

c) $\int {(\sin \frac{x}{2} - \cos \frac{x}{2})}^{2} d x$ ; d) $\int (x + \tan^{2} x) d x$ .

Xem đáp án

Lời giải

c) $\int {{{\left( {\sin \frac{x}{2} - \cos \frac{x}{2}} \right)}^2}dx} $$ = \int {\left( {1 - 2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}} \right)dx} $$ = \int {dx} - \int {\sin xd} x$$ = x + \cos x + C$.

d) $\int {\left( {x + {{\tan }^2}x} \right)} dx$$ = \int {xdx + \int {\left( {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - 1} \right)dx} } $$ = \int {xdx + \int {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx - \int {dx} } } $

$ = \frac{{{x^2}}}{2} + \tan x - x + C$.

Câu 3