Tìm: c) ∫2x+12x2dx; d) ∫2x+3x2dx.

Câu hỏi:

13/07/2024 416

Tìm:

c) $\int \frac{{(2 x + 1)}^{2}}{x^{2}} d x$ ; d) $\int (2^{x} + \frac{3}{x^{2}}) d x$ .

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Giải SGK Toán 12 Bài 11. Nguyên hàm !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

c) $\int {\frac{{{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}}{{{x^2}}}dx} $$ = \int {\frac{{4{x^2} + 4x + 1}}{{{x^2}}}dx} $$ = \int {\left( {4 + \frac{4}{x} + \frac{1}{{{x^2}}}} \right)dx} $

$ = 4\int {dx + 4\int {\frac{1}{x}dx + \int {\frac{1}{{{x^2}}}} } } dx$$ = 4x + 4\ln \left| x \right| - \frac{1}{x} + C$.

d) $\int {\left( {{2^x} + \frac{3}{{{x^2}}}} \right)} dx$$ = \int {{2^x}dx + 3\int {{x^{ - 2}}dx} } $$ = \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} - \frac{3}{x} + C$.

Đang tải chế độ Học...

Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay

ĐẶC QUYỀN VIP

Đăng ký VIP để học và luyện thi không giới hạn

Trọn bộ quyền lợi trên Vietjack, trong một tài khoản.

Phòng luyện thi cấp tốc: ĐGNL - ĐGTD, Tốt nghiệp THPT, Ôn vào 10, Ôn vào 6, Ôn Giữa kì/Cuối kì
Hơn 200K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 3tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem hàng ngàn bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện
Đăng ký ngay

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Một viên đạn được bắn thẳng đứng lên trên từ mặt đất. Giả sử tại thời điểm t giây (coi t = 0 là thời điểm viên đạn được bắn lên), vận tốc của nó được cho bởi v(t) = 160 – 9,8t (m/s). Tìm độ cao của viên đạn (tính từ mặt đất):

a) Sau t = 5 giây;

b) Khi nó đạt độ cao lớn nhất (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).

Xem đáp án

Lời giải

Gọi S(t) là độ cao của viên đạn bắn lên từ mặt đất sau t giây kể từ thời điểm đạn được bắn lên.

Khi đó $S\left( t \right) = \int {v\left( t \right)dt = \int {\left( {160 - 9,8t} \right)dt = 160t - 4,9{t^2}} + C} $.

Vì S(0) = 0 nên 160.0 – 4,9.0 + C = 0 Þ C = 0.

Do đó S(t) = −4,9t² + 160 t.

a) Sau 5 giây độ cao của viên đạn là: S(5) = −4,9.5² + 160.5 = 677,5 (m).

b) Có S(t) = −4,9t² + 160 t

= $ - \frac{1}{{10}}\left( {49{t^2} - 2.7t.\frac{{800}}{7} + \frac{{640000}}{{49}}} \right) + \frac{{64000}}{{49}}$

$ - \frac{1}{{10}}{\left( {7t - \frac{{800}}{7}} \right)^2} + \frac{{64000}}{{49}} \le \frac{{64000}}{{49}}$.

Viên đạn đạt độ cao lớn nhất là $\frac{{64000}}{{49}} \approx 1306,1$ m khi $t = \frac{{800}}{{49}}$ giây.

Câu 2

Một máy bay di chuyển ra đến đường băng và bắt đầu chạy đà để cất cánh. Giả sử vận tốc của máy bay khi chạy đà được cho bởi v(t) = 5 + 3t (m/s), với t là thời gian (tính bằng giây) kể từ khi máy bay bắt đầu chạy đà. Sau 30 giây thì máy bay cất cánh rời đường băng. Quãng đường máy bay đã di chuyển kể từ khi bắt đầu chạy đà đến khi rời đường băng là bao nhiêu mét?

Xem đáp án

Lời giải

Sau khi học xong bài này, ta giải quyết bài toán này như sau:

Gọi S(t) (0 ≤ t ≤ 30) là quãng đường máy bay di chuyển được sau t giây kể từ lúc bắt đầu chạy đà.

Ta có v(t) = S'(t). Do đó, S(t) là một nguyên hàm của hàm số vận tốc v(t). Sử dụng tính chất của nguyên hàm ta được

$S\left( t \right) = \int {v(t)dt = \int {\left( {5 + 3t} \right)dt} = 5\int {dt + 3\int {tdt} = 5t + \frac{3}{2}{t^2} + C.} } $

Theo giả thiết, S(0) = 0 nên C = 0 và ta được$S\left( t \right) = \frac{3}{2}{t^2} + 5t\;\left( m \right)$..

Máy bay rời đường băng khi t = 30 giây nên$S = S\left( {30} \right) = \frac{3}{2}{.30^2} + 5.30 = 1500\;\left( m \right)$..

Vậy quãng đường máy bay đã di chuyển kể từ khi bắt đầu chạy đà đến khi rời đường băng là 1500 m.

Câu 3