Cho ba đường thẳng $d:\left\{\begin{array}{l}x=4+t\\ y=1+2t\\ z=1+3t\end{array}\right.$; $d^{\text{'}}:\left\{\begin{array}{l}x=2t^{\text{'}}\\ y=7+4t^{\text{'}}\\ z=2+6t^{\text{'}}\end{array}\right.$ và $d^{\text{'}\text{'}}:\left\{\begin{array}{l}x=5+2t^{\text{'}\text{'}}\\ y=3+4t^{\text{'}\text{'}}\\ z=4+6t^{\text{'}\text{'}}\end{array}\right.$

a) Nêu nhận xét về ba vectơ chỉ phương của d, d' và d".

b) Xét điểm M(4; 1; 1) nằm trên d. Điểm M có nằm trên d' hoặc d" không?

Một phần mềm mô phỏng vận động viên đang tập bắn súng trong không gian Oxyz. Cho biết trục d của nòng súng và cọc đỡ bia d' có phương trình lần lượt là:

\(d:\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 20\\z = 9\end{array} \right.\) và \(d':\left\{ \begin{array}{l}x = 10\\y = 20\\z = 1 + 3t'\end{array} \right.\). Xét vị trí tương đối giữa d và d', chúng có vuông góc với nhau không?

Trên phần mềm mô phỏng 3D một máy khoan trong không gian Oxyz, cho biết phương trình trục a của mũi khoan và một đường rãnh b trên vật cần khoan (Hình 18) lần lượt là: \(a:\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2\\z = 3t\end{array} \right.\) và \(b:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 4t'\\y = 2 + 2t'\\z = 6\end{array} \right.\).

a) Chứng minh a, b vuông góc và cắt nhau.

b) Tìm giao điểm của a và b.

Trong không gian Oxyz, cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' với A(1; 2; 1), B(7; 5; 3), C(4; 2; 0), A'(4; 9; 9). Tìm tọa độ một vectơ chỉ phương của mỗi đường thẳng AB, A'C' và BB'.

Trong trò chơi mô phỏng bắn súng 3D trong không gian Oxyz, một xạ thủ đang ngắm với tọa độ khe ngắm và đầu ruồi lần lượt là là M(3; 3; 1,5), N(3; 4; 1,5). Viết phương trình tham số của đường ngắm bắn của xạ thủ (xem như đường thẳng MN).

Trên một cánh đồng điện mặt trời, người ta đã thiết lập sẵn một hệ tọa độ Oxyz. Hai tấm pin năng lượng lần lượt nằm trong hai mặt phẳng (P): 2x + 2z + 1 = 0 và (P'): x + z + 7 = 0.

a) Tính góc giữa (P) và (P').

b) Tính góc hợp bởi (P) và (P') với mặt đất (Q) có phương trình z = 0.

Trong không gian Oxyz, cho hình lăng trụ đứng OBC.O'B'C' có đáy là tam giác OBC vuông tại O. Cho biết B(3; 0; 0), C(0; 1; 0), O'(0; 0; 2). Tính góc giữa:

a) hai đường thẳng BO' và B'C;

b) hai mặt phẳng (O'BC) và (OBC);

c) đường thẳng B'C và mặt phẳng (O'BC)

Trên một phần mềm đã thiết kế sân khấu 3D trong không gian Oxyz. Tính góc giữa hai tia sáng có phương trình lần lượt là: \(d:\frac{x}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z}{{ - 1}}\) và \[d':\frac{{x - 1}}{3} = \frac{{y - 1}}{3} = \frac{{z - 1}}{9}\].