Câu hỏi:
11/07/2024 5,492
Trong không gian Oxyz, cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D'. Cho biết A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), D(0; 5; 0), A'(0; 0; 3). Tính góc giữa:
a) hai đường thẳng AC và BA';
b) hai mặt phẳng (BB'D'D) và (AA'C'C);
c) đường thẳng AC' và mặt phẳng (A'BD).
Trong không gian Oxyz, cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D'. Cho biết A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), D(0; 5; 0), A'(0; 0; 3). Tính góc giữa:
a) hai đường thẳng AC và BA';
b) hai mặt phẳng (BB'D'D) và (AA'C'C);
c) đường thẳng AC' và mặt phẳng (A'BD).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ với O trùng với A.
Ta có A'(0; 0; 3), B(1; 0; 0), A(0; 0; 0), C(1; 5; 0), B'(1; 0; 3), D(0; 5; 0), C'(1; 5; 3)
a) Đường thẳng AC nhận \(\overrightarrow {AC} = \left( {1;5;0} \right)\) làm vectơ chỉ phương.
Đường thẳng BA' nhận \(\overrightarrow {BA'} = \left( { - 1;0;3} \right)\) làm vectơ chỉ phương.
Khi đó \(\cos \left( {AC,BA'} \right) = \frac{{\left| {1.\left( { - 1} \right) + 5.0 + 0.3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {5^2}} .\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {3^2}} }} = \frac{1}{{2\sqrt {65} }}\).
Suy ra (AC, BA') ≈ 86,44°.
b) Ta có \(\overrightarrow {BB'} = \left( {0;0;3} \right),\overrightarrow {BD} = \left( { - 1;5;0} \right)\), \(\overrightarrow {AC} = \left( {1;5;0} \right)\), \(\overrightarrow {AA'} = \left( {0;0;3} \right)\).
Ta có \(\left[ {\overrightarrow {BB'} ,\overrightarrow {BD} } \right] = \left( { - 15; - 3;0} \right)\), \(\left[ {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AA'} } \right] = \left( {15; - 3;0} \right)\).
Mặt phẳng (BB'D'D) nhận \(\overrightarrow n = - \frac{1}{3}\left[ {\overrightarrow {BB'} ,\overrightarrow {BD} } \right] = \left( {5;1;0} \right)\) làm vectơ pháp tuyến.
Mặt phẳng (AA'C'C) nhận \(\overrightarrow {n'} = \frac{1}{3}\left[ {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AA'} } \right] = \left( {5; - 1;0} \right)\) làm vectơ pháp tuyến.
Khi đó \(\cos \left( {\left( {BB'D'D} \right),\left( {AA'C'C} \right)} \right) = \frac{{\left| {5.5 + 1.\left( { - 1} \right) + 0.0} \right|}}{{\sqrt {{5^2} + 1} .\sqrt {{5^2} + 1} }} = \frac{{24}}{{26}} = \frac{{12}}{{13}}\).
Suy ra ((BB'D'D), (AA'C'C)) ≈ 22,62°.
c) Ta có \(\overrightarrow {AC'} = \left( {1;5;3} \right)\), \(\overrightarrow {A'B} = \left( {1;0; - 3} \right),\overrightarrow {A'D} = \left( {0;5; - 3} \right)\), \(\left[ {\overrightarrow {A'B} ,\overrightarrow {A'D} } \right] = \left( {15;3;5} \right)\).
Đường thẳng AC' nhận \(\overrightarrow {AC'} = \left( {1;5;3} \right)\) làm vectơ chỉ phương.
Mặt phẳng (A'BD) nhận \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {A'B} ,\overrightarrow {A'D} } \right] = \left( {15;3;5} \right)\) làm vectơ pháp tuyến.
Ta có \(\sin \left( {AC',\left( {A'BD} \right)} \right) = \frac{{\left| {1.15 + 5.3 + 3.5} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {5^2} + {3^2}} .\sqrt {{{15}^2} + {3^2} + {5^2}} }} = \frac{{45}}{{7\sqrt {185} }}\).
Suy ra (AC', (A'BD)) ≈ 28,21°.
Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
- 500 Bài tập tổng ôn môn Toán (Form 2025) ( 38.500₫ )
- 20 Bộ đề, Tổng ôn, sổ tay môn Toán (có đáp án chi tiết) ( 55.000₫ )
- Sổ tay lớp 12 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa, KTPL (chương trình mới) ( 36.000₫ )
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội, TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) ( 150.000₫ )
Bình luận
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Đường thẳng d và d' lần lượt có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow a = \left( {1;0;0} \right),\overrightarrow {a'} = \left( {0;0;3} \right)\).
Ta có \(\overrightarrow a .\overrightarrow {a'} \) = 1.0 + 0.0 + 0.3 = 0.
Do đó d và d' vuông góc với nhau.
Lời giải
a) Đường thẳng a đi qua M(1; 2; 0) và có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow a = \left( {0;0;3} \right)\).
Đường thẳng b đi qua N(1; 2; 6) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {a'} = \left( {4;2;0} \right)\).
Có \(\overrightarrow a .\overrightarrow {a'} = 0.4 + 0.2 + 3.0 = 0\). Suy ra a ^ b.
Ta xét hệ \(\left\{ \begin{array}{l}1 = 1 + 4t'\\2 = 2 + 2t'\\3t = 6\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t' = 0\\t' = 0\\t = 2\end{array} \right.\) . Suy ra hệ có nghiệm duy nhất.
Do đó a và b cắt nhau.
b) Thay t = 2 vào phương trình đường thẳng a ta được \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2\\z = 6\end{array} \right.\).
Vậy tọa độ giao điểm của hai đường thẳng này là (1; 2; 6).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
🔥 Đề thi HOT:
-
5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án (Phần 1)
-
135 câu Bài tập Hình học mặt nón, mặt trụ, mặt cầu cực hay có lời giải (P1)
-
79 câu Chuyên đề Toán 12 Bài 2 Dạng 1: Xác định vectơ pháp tuyến và viết phương trình mặt phẳng có đáp án
-
87 câu Chuyên đề Toán 12 Bài 3 Dạng 1: Xác định vectơ pháp tuyến và viết phương trình mặt phẳng có đáp án
-
80 câu Trắc nghiệm Tích phân có đáp án (Phần 1)
-
56 câu Chuyên đề Toán 12 Bài 2: Lôgarit có đáp án
-
15 câu Trắc nghiệm Số phức có đáp án (Vận dụng)
-
7 câu Trắc nghiệm Khối đa diện lồi và khối đa diện đều có đáp án (Vận dụng)
Hãy Đăng nhập hoặc Tạo tài khoản để gửi bình luận
-
-
Bình luận