Câu hỏi:
11/07/2024 1,203
Trong không gian Oxyz, cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D'. Cho biết A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), D(0; 5; 0), A'(0; 0; 3). Tính góc giữa:
a) hai đường thẳng AC và BA';
b) hai mặt phẳng (BB'D'D) và (AA'C'C);
c) đường thẳng AC' và mặt phẳng (A'BD).
Trong không gian Oxyz, cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D'. Cho biết A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), D(0; 5; 0), A'(0; 0; 3). Tính góc giữa:
a) hai đường thẳng AC và BA';
b) hai mặt phẳng (BB'D'D) và (AA'C'C);
c) đường thẳng AC' và mặt phẳng (A'BD).
Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ với O trùng với A.
Ta có A'(0; 0; 3), B(1; 0; 0), A(0; 0; 0), C(1; 5; 0), B'(1; 0; 3), D(0; 5; 0), C'(1; 5; 3)
a) Đường thẳng AC nhận \(\overrightarrow {AC} = \left( {1;5;0} \right)\) làm vectơ chỉ phương.
Đường thẳng BA' nhận \(\overrightarrow {BA'} = \left( { - 1;0;3} \right)\) làm vectơ chỉ phương.
Khi đó \(\cos \left( {AC,BA'} \right) = \frac{{\left| {1.\left( { - 1} \right) + 5.0 + 0.3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {5^2}} .\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {3^2}} }} = \frac{1}{{2\sqrt {65} }}\).
Suy ra (AC, BA') ≈ 86,44°.
b) Ta có \(\overrightarrow {BB'} = \left( {0;0;3} \right),\overrightarrow {BD} = \left( { - 1;5;0} \right)\), \(\overrightarrow {AC} = \left( {1;5;0} \right)\), \(\overrightarrow {AA'} = \left( {0;0;3} \right)\).
Ta có \(\left[ {\overrightarrow {BB'} ,\overrightarrow {BD} } \right] = \left( { - 15; - 3;0} \right)\), \(\left[ {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AA'} } \right] = \left( {15; - 3;0} \right)\).
Mặt phẳng (BB'D'D) nhận \(\overrightarrow n = - \frac{1}{3}\left[ {\overrightarrow {BB'} ,\overrightarrow {BD} } \right] = \left( {5;1;0} \right)\) làm vectơ pháp tuyến.
Mặt phẳng (AA'C'C) nhận \(\overrightarrow {n'} = \frac{1}{3}\left[ {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AA'} } \right] = \left( {5; - 1;0} \right)\) làm vectơ pháp tuyến.
Khi đó \(\cos \left( {\left( {BB'D'D} \right),\left( {AA'C'C} \right)} \right) = \frac{{\left| {5.5 + 1.\left( { - 1} \right) + 0.0} \right|}}{{\sqrt {{5^2} + 1} .\sqrt {{5^2} + 1} }} = \frac{{24}}{{26}} = \frac{{12}}{{13}}\).
Suy ra ((BB'D'D), (AA'C'C)) ≈ 22,62°.
c) Ta có \(\overrightarrow {AC'} = \left( {1;5;3} \right)\), \(\overrightarrow {A'B} = \left( {1;0; - 3} \right),\overrightarrow {A'D} = \left( {0;5; - 3} \right)\), \(\left[ {\overrightarrow {A'B} ,\overrightarrow {A'D} } \right] = \left( {15;3;5} \right)\).
Đường thẳng AC' nhận \(\overrightarrow {AC'} = \left( {1;5;3} \right)\) làm vectơ chỉ phương.
Mặt phẳng (A'BD) nhận \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {A'B} ,\overrightarrow {A'D} } \right] = \left( {15;3;5} \right)\) làm vectơ pháp tuyến.
Ta có \(\sin \left( {AC',\left( {A'BD} \right)} \right) = \frac{{\left| {1.15 + 5.3 + 3.5} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {5^2} + {3^2}} .\sqrt {{{15}^2} + {3^2} + {5^2}} }} = \frac{{45}}{{7\sqrt {185} }}\).
Suy ra (AC', (A'BD)) ≈ 28,21°.
Nhà sách VIETJACK:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Trong không gian Oxyz, cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' với A(1; 2; 1), B(7; 5; 3), C(4; 2; 0), A'(4; 9; 9). Tìm tọa độ một vectơ chỉ phương của mỗi đường thẳng AB, A'C' và BB'.
Trong không gian Oxyz, cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' với A(1; 2; 1), B(7; 5; 3), C(4; 2; 0), A'(4; 9; 9). Tìm tọa độ một vectơ chỉ phương của mỗi đường thẳng AB, A'C' và BB'.
Xem đáp án »
13/07/2024
4,812
Câu 2:
Một phần mềm mô phỏng vận động viên đang tập bắn súng trong không gian Oxyz. Cho biết trục d của nòng súng và cọc đỡ bia d' có phương trình lần lượt là:
\(d:\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 20\\z = 9\end{array} \right.\) và \(d':\left\{ \begin{array}{l}x = 10\\y = 20\\z = 1 + 3t'\end{array} \right.\). Xét vị trí tương đối giữa d và d', chúng có vuông góc với nhau không?
Một phần mềm mô phỏng vận động viên đang tập bắn súng trong không gian Oxyz. Cho biết trục d của nòng súng và cọc đỡ bia d' có phương trình lần lượt là:
\(d:\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 20\\z = 9\end{array} \right.\) và \(d':\left\{ \begin{array}{l}x = 10\\y = 20\\z = 1 + 3t'\end{array} \right.\). Xét vị trí tương đối giữa d và d', chúng có vuông góc với nhau không?
Xem đáp án »
07/07/2024
921
Câu 3:
Trong trò chơi mô phỏng bắn súng 3D trong không gian Oxyz, một xạ thủ đang ngắm với tọa độ khe ngắm và đầu ruồi lần lượt là là M(3; 3; 1,5), N(3; 4; 1,5). Viết phương trình tham số của đường ngắm bắn của xạ thủ (xem như đường thẳng MN).
Trong trò chơi mô phỏng bắn súng 3D trong không gian Oxyz, một xạ thủ đang ngắm với tọa độ khe ngắm và đầu ruồi lần lượt là là M(3; 3; 1,5), N(3; 4; 1,5). Viết phương trình tham số của đường ngắm bắn của xạ thủ (xem như đường thẳng MN).
Xem đáp án »
07/07/2024
855
Câu 4:
Trong không gian Oxyz, cho hình lăng trụ đứng OBC.O'B'C' có đáy là tam giác OBC vuông tại O. Cho biết B(3; 0; 0), C(0; 1; 0), O'(0; 0; 2). Tính góc giữa:
a) hai đường thẳng BO' và B'C;
b) hai mặt phẳng (O'BC) và (OBC);
c) đường thẳng B'C và mặt phẳng (O'BC)
Trong không gian Oxyz, cho hình lăng trụ đứng OBC.O'B'C' có đáy là tam giác OBC vuông tại O. Cho biết B(3; 0; 0), C(0; 1; 0), O'(0; 0; 2). Tính góc giữa:
a) hai đường thẳng BO' và B'C;
b) hai mặt phẳng (O'BC) và (OBC);
c) đường thẳng B'C và mặt phẳng (O'BC)
Xem đáp án »
11/07/2024
805
Câu 5:
Trên phần mềm mô phỏng 3D một máy khoan trong không gian Oxyz, cho biết phương trình trục a của mũi khoan và một đường rãnh b trên vật cần khoan (Hình 18) lần lượt là: \(a:\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2\\z = 3t\end{array} \right.\) và \(b:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 4t'\\y = 2 + 2t'\\z = 6\end{array} \right.\).
a) Chứng minh a, b vuông góc và cắt nhau.
b) Tìm giao điểm của a và b.
Trên phần mềm mô phỏng 3D một máy khoan trong không gian Oxyz, cho biết phương trình trục a của mũi khoan và một đường rãnh b trên vật cần khoan (Hình 18) lần lượt là: \(a:\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2\\z = 3t\end{array} \right.\) và \(b:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 4t'\\y = 2 + 2t'\\z = 6\end{array} \right.\).
a) Chứng minh a, b vuông góc và cắt nhau.
b) Tìm giao điểm của a và b.
Xem đáp án »
11/07/2024
730
Câu 6:
Trên một cánh đồng điện mặt trời, người ta đã thiết lập sẵn một hệ tọa độ Oxyz. Hai tấm pin năng lượng lần lượt nằm trong hai mặt phẳng (P): 2x + 2z + 1 = 0 và (P'): x + z + 7 = 0.
a) Tính góc giữa (P) và (P').
b) Tính góc hợp bởi (P) và (P') với mặt đất (Q) có phương trình z = 0.
Trên một cánh đồng điện mặt trời, người ta đã thiết lập sẵn một hệ tọa độ Oxyz. Hai tấm pin năng lượng lần lượt nằm trong hai mặt phẳng (P): 2x + 2z + 1 = 0 và (P'): x + z + 7 = 0.
a) Tính góc giữa (P) và (P').
b) Tính góc hợp bởi (P) và (P') với mặt đất (Q) có phương trình z = 0.
Xem đáp án »
11/07/2024
456
về câu hỏi!