Cho hàm số $y=x^4-2m{x}^2+\frac{7}{2}$ có đồ thị $\left(C\right)$. Biết rằng $\left(C\right)$ có ba điểm cực trị lập thành tam giác nhận gốc tọa độ $O\left(0;0\right)$ làm trực tâm. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Chọn A.

TXĐ: $D=R$

Ta có: $y\text{'}=3x^2-6x+3m$

Để hàm số đã cho nghịch biến trên $\left(1;2\right)$

thì $y\text{'}\le 0, \forall x\in \left(1;2\right)$và bằng 0 tại hữu hạn điểm

Hàm số $y={\left(x-1\right)}^2$ đồng biến trên $\left(1;+\infty \right)$ nên cũng đồng biến trên $\left(1;2\right)$

Lại có $m\in \left[-10;10\right]$ và $m\in Z$ nên $m\in \left\{-10;-9;..;0\right\}$

Vậy có 11 giá trị của m

Chọn D.

$\Rightarrow$Hàm số đạt cực tiểu tại $x=0$

$\Rightarrow$Khi m = 0 hàm số không có cực đại

$\Rightarrow m=0$thỏa mãn

Ta có

Để hàm số $y=m{x}^4-\left(m-3\right)x^2+m^2$ không có điểm cực đại

+) (*) vô nghiệm

$\Rightarrow$Hàm số chỉ có 1 cực trị x = 0

Để x = 0 là điểm cực tiểu

$\iff m<3$

$\Rightarrow 0<m<3$

+) (*) có nghiệm kép $x=0\Rightarrow m=3$

Khi đó $y\text{'}=12x^3=0\iff x=0$

Qua điểm x = 0 ta thấy y ' đổi dấu từ âm sang dương

$\Rightarrow x=0$ là điểm cực tiểu

$\Rightarrow m=3$ thỏa mãn.

+) (*) có 2 nghiệm phân biệt

$\Rightarrow$  Hàm số luôn có cực đại$\Rightarrow$Loại.

Vậy để hàm số đã cho không có cực đại thì $0\le m\le 3$

Mà $m\in Z\Rightarrow m\in \left\{0;1;2;3\right\}$