Cho hình thang vuông ABCD A^=B^=90° với C^=30°, BC = CD = a. Vẽ một phần đường tròn (C; CD) (Hình 54). Tính diện tích của phần tô màu xám theo a.

Kẻ DH vuông góc với BC tại H. Do tam giác CDH vuông tại H nên ta có: ⦁ DH=CD⋅sinC=a⋅sin30°=a2; ⦁CH=CD⋅cosC=a⋅cos30°=a32. Ta có: BH=BC−CH=a−a32=a2−32. Tứ giác ABHD có DAB^=ABH^=BHD^=90° nên là hình chữ nhật. Suy ra AB=DH=a2; AD=BH=a2−32. Diện tích của hình thang vuông ABCD là: S1=ABAD+BC2=a2⋅a2−32+a2=a24−38 (đơn vị diện tích). Diện tích hình quạt tròn BCD là: S2=πa2⋅30360=πa212 (đơn vị diện tích). Diện tích của phần tô màu xám là: S=S1−S2=a24−38−πa212=a212−33−2π24 (đơn vị diện tích).

Câu hỏi:

02/08/2024 1,320

Cho hình thang vuông ABCD $(\hat{A} = \hat{B} = 90 °)$ với $\hat{C} = 30 °,$ BC = CD = a. Vẽ một phần đường tròn (C; CD) (Hình 54). Tính diện tích của phần tô màu xám theo a.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Giải SBT Toán 9 Cánh Diều BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG V !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Media VietJack

Kẻ DH vuông góc với BC tại H.

Do tam giác CDH vuông tại H nên ta có:

⦁ $D H = C D \cdot \sin C = a \cdot \sin 30 ° = \frac{a}{2};$

⦁ $C H = C D \cdot \cos C = a \cdot \cos 30 ° = \frac{a \sqrt{3}}{2} .$

Ta có: $B H = B C - C H = a - \frac{a \sqrt{3}}{2} = \frac{a (2 - \sqrt{3})}{2} .$

Tứ giác ABHD có $\hat{D A B} = \hat{A B H} = \hat{B H D} = 90 °$ nên là hình chữ nhật.

Suy ra $A B = D H = \frac{a}{2}; A D = B H = \frac{a (2 - \sqrt{3})}{2} .$

Diện tích của hình thang vuông ABCD là:

$S_{1} = \frac{A B (A D + B C)}{2} = \frac{\frac{a}{2} \cdot [\frac{a (2 - \sqrt{3})}{2} + a]}{2} = \frac{a^{2} (4 - \sqrt{3})}{8}$ (đơn vị diện tích).

Diện tích hình quạt tròn BCD là:

$S_{2} = \frac{π a^{2} \cdot 30}{360} = \frac{π a^{2}}{12}$ (đơn vị diện tích).

Diện tích của phần tô màu xám là:

$S = S_{1} - S_{2} = \frac{a^{2} (4 - \sqrt{3})}{8} - \frac{π a^{2}}{12} = \frac{a^{2} (12 - 3 \sqrt{3} - 2 π)}{24}$ (đơn vị diện tích).

Hot: 500+ Đề thi vào 10 file word các Sở Hà Nội, TP Hồ Chí Minh có đáp án 2025 (chỉ từ 100k). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; R) cắt nhau tại hai điểm M, N với OO’ = 24 cm và MN = 10 cm (Hình 52). Khi đó, R bằng:

A. 26 cm.

B. 13 cm.

C. 14 cm.

D. 34 cm.

Xem đáp án

Lời giải

Đáp án đúng là: B

Media VietJack

Gọi E là giao điểm của MN và OO’.

Ta có: OM = ON = R (bán kính đường tròn (O; R)) và O’M = O’N = R (bán kính đường tròn (O’; R)). Suy ra OM = ON = O’M = O’N, nên OMO’N là hình thoi.

Do đó hai đường chéo MN và OO’ vuông góc với nhau tại trung điểm E của mỗi đường.

Suy ra $O E = \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \cdot 24 = 12 (c m)$ và $M E = \frac{1}{2} MN = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5 (c m) .$

Xét ∆OME vuông tại E, theo định lí Pythagore, ta có:

OM² = OE² + ME²

Suy ra $O M = \sqrt{O E^{2} + M E^{2}} = \sqrt{12^{2} + 5^{2}} = \sqrt{169} = 13 (c m) .$

Vậy R = 13 cm.

Câu 2

Cho đường tròn tâm O đường kính AB và điểm M di chuyển trên đường tròn (M khác A và B). Vẽ đường tròn (M) tiếp xúc với AB tại H. Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến AC, BD của đường tròn (M) lần lượt tại C, D.

a) Chứng minh AC + BD không đổi khi M di chuyển trên đường tròn (O).

b) Chứng minh CD là tiếp tuyến của đường tròn (O).

Xem đáp án

Lời giải

Media VietJack

a) Do AC, AH là hai tiếp tuyến của đường tròn (M) nên AC = AH.

Tương tự, ta chứng minh được BD = BH.

Do đó AC + BD = AH + BH = AB (không đổi).

b) ⦁ Do AC, AH là hai tiếp tuyến của đường tròn (M) nên MA là tia phân giác của góc CMH hay $\hat{A M C} = \hat{A M H} .$

Tương tự, ta chứng minh được $\hat{B M D} = \hat{B M H} .$

Xét đường tròn (O) đường kính AB có $\hat{A M B} = 90 °$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Mà $\hat{A M H} + \hat{B M H} = \hat{A M B} = 90 °$

Suy ra $\hat{C M D} = \hat{A M C} + \hat{A M H} + \hat{B M H} + \hat{B M D} = 2 (\hat{A M H} + \hat{B M H}) = 2 \cdot 90 ° = 180 °$

Do đó ba điểm C, M, D thẳng hàng.

⦁ Do tam giác OBM cân tại O (do OM = OB) nên $\hat{O B M} = \hat{O M B} .$

Suy ra $2 \hat{O B M} + \hat{B O M} = 180 ° .$

Ta lại có: $\hat{A O M} + \hat{B O M} = 180 °$ nên $\hat{A O M} = 2 \hat{O B M} .$

Lại có BM là tia phân giác của góc ABD (do hai tiếp tuyến BD, BH của (O) cắt nhau tại B) hay $\hat{A B D} = 2 \hat{O B M} .$

Suy ra $\hat{A O M} = \hat{A B D} .$

Mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên OM // BD.

Mặt khác, BD ⊥ CD (do BD ⊥ CM) nên CD vuông góc với OM tại M thuộc đường tròn (O).

Vậy CD là tiếp tuyến của đường tròn (O).

Câu 3