Trong không gian Oxyz, đường băng của một sân bay thuộc trục Oy.Một máy bay sau khi chạy đà trên đường băng đó đã cất cánh tại điểm A(0; 2; 0) với vận tốc không đổi trong khoảng thời gian ngắn ban đầu, vectơ vận tốc \(\overrightarrow v \) = (1; 4; 1). Hỏi trong khoảng thời gian ngắn nói trên, máy bay chuyển động trên đường thẳng nào và góc cất cánh của máy bay bằng bao nhiêu?

Ta có: \(\overrightarrow {{n_P}} \)= (2; −1; 2), \(\overrightarrow {{n_Q}} \) = (1; 1; −1) lần lượt là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) và (Q).

Do đó: cos\(\left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right)\) = \(\left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{n_Q}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_P}} .\overrightarrow {{n_Q}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_P}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_Q}} } \right|}} = \frac{{\left| {2.1 + \left( { - 1} \right).1 + 2.\left( { - 1} \right)} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2}} .\sqrt {{1^2} + {1^2} + \left( { - {1^2}} \right)} }}\)= \(\frac{{\sqrt 3 }}{9}\).

⇒ \(\left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right)\) ≈ 78,9°.

Đường thẳng ∆₁ qua điểm A(2; −1; 0) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} \) = (1; 2; 1).

Đường thẳng ∆₂ qua điểm B(−1; 2; −1) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_2}} \) = (3; 1; 4).

a) Ta có: \(\overrightarrow {AB} \) = (−3; 3; −1), \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right]\) = (7; −1; −5).

⇒ \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {AB} \) = −19 ≠ 0.

Suy ra ∆₁ và ∆₂ chéo nhau.

Vậy nút giao thông đó là nút giao thông khác mức.

b) Ta có: cos(∆₁, ∆₂) = \(\frac{{\left| {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{u_2}} } \right|}} = \frac{{\left| {1.3 + 2.1 + 1.4} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {1^2}} .\sqrt {{3^2} + {1^2} + {4^2}} }}\) = \(\frac{9}{{\sqrt {156} }}\).

⇒ (∆₁, ∆₂) ≈ 43,9°.