Câu hỏi:
21/08/2024 1,372Trong không gian Oxyz, một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng chứa đường thẳng
∆: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = - 2 + 2t\\z = 3 - t\end{array} \right.\) và đi qua điểm A(2; −1; 1) là
A. \(\overrightarrow {{n_1}} \)= (3; −1; 1).
B. \(\overrightarrow {{n_2}} \) = (3; 1; −1).
C. \(\overrightarrow {{n_3}} \) = (1; −1; 3).
D. \(\overrightarrow {{n_4}} \) = (−1; 3; 1).
Quảng cáo
Trả lời:
Đáp án đúng là: A
Vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ là: \(\overrightarrow u \) = (1; 2; −1).
Đường thẳng ∆ đi qua B(1; −2; 3) nên vectơ pháp tuyến của mặt phẳng chứa ∆ và đi qua A là: \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {AB} } \right]\) (với \(\overrightarrow {AB} \) = (−1; −1; 2)).
Suy ra \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {AB} } \right]\) = \(\left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&{ - 1}\\{ - 1}&2\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&1\\2&{ - 1}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&2\\{ - 1}&{ - 1}\end{array}} \right|} \right)\) = (3; −1; 1).
Vậy \(\overrightarrow n \) = (3; −1; 1).
Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
a) Ta có I thuộc d nên I có dạng I(1 + t; 2t; −1 – 2t).
I cũng thuộc (P) nên thay I vào phương tình mặt phẳng (P), ta được:
2(1 + t) + 2t + (−1 – 2t) + 5 = 0
⇔ 2t + 6 = 0
⇔ t = −3.
⇒ I(−2; −6; 5).
b) Ta có: \(\overrightarrow {{u_\Delta }} \) = (1; 2; −2), \(\overrightarrow {{n_P}} \) = (2; 1; 1).
⇒ \(\overrightarrow {{u_{\Delta '}}} = \left[ {\overrightarrow {{u_\Delta }} ,\overrightarrow {{n_P}} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&{ - 2}\\1&1\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2}&1\\1&2\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&2\\2&1\end{array}} \right|} \right)\) = (4; −5; −3) là vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆'.
Đường thẳng ∆' qua I nên ta có phương trình đường thẳng như sau: \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 2 + 4t\\y = - 6 - 5t\\z = 5 - 3t\end{array} \right.\).
c) Ta có: \(\overrightarrow {{u_\Delta }} \) = (1; 2; −2), \(\overrightarrow {{n_P}} \) = (2; 1; 1).
Do đó, sin(∆, (P)) = \(\left| {\cos \left( {{{\overrightarrow u }_\Delta },{{\overrightarrow n }_{\left( P \right)}}} \right)} \right| = \frac{{\left| {{{\overrightarrow u }_\Delta }.{{\overrightarrow n }_{\left( P \right)}}} \right|}}{{\left| {{{\overrightarrow u }_\Delta }} \right|.\left| {{{\overrightarrow n }_{\left( P \right)}}} \right|}} = \frac{{\left| {1.2 + 2.1 + \left( { - 2} \right).1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} .\sqrt {{2^2} + {1^2} + {1^2}} }} = \frac{{\sqrt 6 }}{9}\).
⇒ (∆, (P)) ≈ 15,8°.
Lời giải
a) Đường thẳng ∆ đi qua A(2; 1; −1) và nhận vectơ \(\overrightarrow {{u_\Delta }} \) = (3; 2; 1) làm vectơ chỉ phương.
Đường thẳng ∆' đi qua B(−1; 2; 3) và nhận vectơ \(\overrightarrow {{u_{\Delta '}}} \) = (1; −1; 2) làm vectơ chỉ phương.
Ta có: \(\left[ {\overrightarrow {{u_\Delta }} ,\overrightarrow {{u_{\Delta '}}} } \right]\) = (5; −5; −5) và \(\overrightarrow {AB} \) = (−3; 1; 4) nên \(\left[ {\overrightarrow {{u_\Delta }} ,\overrightarrow {{u_{\Delta '}}} } \right].\overrightarrow {AB} \) = −40 ≠ 0.
Hai đường thẳng ∆ và ∆' chéo nhau.
b) Ta có: cos(∆, ∆') = \(\left| {\cos \left( {\overrightarrow {{u_\Delta }} ,\overrightarrow {{u_{\Delta '}}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {{u_\Delta }} .\overrightarrow {{u_{\Delta '}}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_\Delta }} } \right|.\left| {\overrightarrow {{u_{\Delta '}}} } \right|}} = \frac{{\left| {3.1 + 2.\left( { - 1} \right) + 1.2} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {2^2} + {1^2}} .\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2}} }}\) = \(\frac{{\sqrt {21} }}{{14}}\).
c) Đường thẳng d song song với đường thẳng ∆ nên nhận \(\overrightarrow {{u_\Delta }} \) = (3; 2; 1) làm vectơ chỉ phương.
Phương trình đường thẳng d là: \(\frac{{x + 3}}{3} = \frac{{y - 2}}{2} = \frac{{z - 2}}{1}\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án (Phần 1)
80 câu Trắc nghiệm Tích phân có đáp án (Phần 1)
135 câu Bài tập Hình học mặt nón, mặt trụ, mặt cầu cực hay có lời giải (P1)
56 câu Chuyên đề Toán 12 Bài 2: Lôgarit có đáp án
79 câu Chuyên đề Toán 12 Bài 2 Dạng 1: Xác định vectơ pháp tuyến và viết phương trình mặt phẳng có đáp án
15 câu Trắc nghiệm Số phức có đáp án (Vận dụng)
87 câu Chuyên đề Toán 12 Bài 3 Dạng 1: Xác định vectơ pháp tuyến và viết phương trình mặt phẳng có đáp án
7 câu Trắc nghiệm Khối đa diện lồi và khối đa diện đều có đáp án (Vận dụng)
Hãy Đăng nhập hoặc Tạo tài khoản để gửi bình luận