Câu hỏi:
22/08/2024 10,851
Một vật chuyển động dọc theo trục số nằm ngang, chiều dương từ trái sang phải. Giả sử vị trí của vật x (mét) từ thời điểm t = 0 giây đến thời điểm t = 5 giây được cho bởi công thức x(t) = t3 – 7t2 + 11t + 5.
a) Xác định vận tốc v của vật. Xác định khoảng thời gian vật chuyển động sang phải và khoảng thời gian vật chuyển sang trái.
b) Tìm tốc độ của vật và thời điểm vật dừng lại. Tính tốc độ cực đại của vật và khoảng thời gian từ t = 1 giây đến t = 4 giây.
c) Xác định gia tốc a của vật. Tìm khoảng thời gian vật tăng tốc và khoảng thời gian vật giảm tốc.
Một vật chuyển động dọc theo trục số nằm ngang, chiều dương từ trái sang phải. Giả sử vị trí của vật x (mét) từ thời điểm t = 0 giây đến thời điểm t = 5 giây được cho bởi công thức x(t) = t3 – 7t2 + 11t + 5.
a) Xác định vận tốc v của vật. Xác định khoảng thời gian vật chuyển động sang phải và khoảng thời gian vật chuyển sang trái.
b) Tìm tốc độ của vật và thời điểm vật dừng lại. Tính tốc độ cực đại của vật và khoảng thời gian từ t = 1 giây đến t = 4 giây.
c) Xác định gia tốc a của vật. Tìm khoảng thời gian vật tăng tốc và khoảng thời gian vật giảm tốc.
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
a) Ta có: x(t) = t3 – 7t2 + 11t + 5 với t ∈ [0; 5].
Vận tốc của vật là v(t) = x'(t) = 3t2 – 14t + 11, t ∈ [0; 5].
v(t) = 0 ⇔ 3t2 – 14t + 11 = 0 ⇔ t = 1 hoặc t = \(\frac{{11}}{3}\).
Ta có bảng biến thiên như sau:
Dựa vào bảng trên, v(t) > 0 khi t ∈ (0; 1) hoặc \(\left( {\frac{{11}}{3};5} \right)\); v(t) < 0 khi t ∈ \(\left( {1;\frac{{11}}{3}} \right)\).
Vật chuyển động theo chiều dương khi vận tốc v(t) > 0.
Do đó, vật chuyển động sang phải trong các khoảng thời điểm từ 0 đến 1 giây và từ \(\frac{{11}}{3}\) giây đến 5 giây; vật chuyển động sang trái trong các khoảng thời gian từ 1 giây đến \(\frac{{11}}{3}\) giây.
b) Tốc độ của vật là độ lớn của vận tốc, tức là:
\[\left| {v\left( t \right)} \right| = \left| {3{t^2}--14t + 11} \right|\], t ∈ [0; 5].
Ta có \[\left| {v\left( t \right)} \right|\] = 0 ⇔ t = 1 hoặc t = \(\frac{{11}}{3}\).
Vậy vật dừng lại tại các thời điểm t = 1 giây hoặc t = \(\frac{{11}}{3}\) giây.
Ta có: v(t) = 3t2 – 14t + 11, t ∈ [0; 5].
v'(t) = 6t – 14, t ∈ [0; 5].
v'(t) = 0 ⇔ 6t – 14 = 0 ⇔ t = \(\frac{7}{3}.\)
Xét trên đoạn [1; 4], ta có: v(1) = 0, v(4) = −5, v\(\left( {\frac{7}{3}} \right) = \frac{{ - 16}}{3}\).
Vì \[\left| {v\left( 1 \right)} \right|{\rm{ }} < {\rm{ }}\left| {v\left( 4 \right)} \right|{\rm{ }} < {\rm{ }}\left| {v\left( {\frac{7}{3}} \right)} \right|\] do đó\(\mathop {\max }\limits_{t \in [1;4]} \left| {v(t)} \right| = \left| {v\left( {\frac{7}{3}} \right)} \right| = \frac{{16}}{3}\).
Vậy tốc độ cực đại của vật trong khoảng thời gian từ t = 1 giây đến t = 4 giây là \(\frac{{16}}{3}\) (m/s).
c) Gia tốc của vật là: a(t) = v'(t) = 6t – 14.
Ta có bảng biến thiên sau:
Từ đây, a(t) > 0 khi t ∈ \(\left( {\frac{7}{3};5} \right)\) và a(t) < 0 khi t ∈ \(\left( {0;\frac{7}{3}} \right)\).
Vật tăng tốc khi a(t) > 0 và vật giảm tốc khi a(t) < 0. Vậy vật tăng tốc trong khoảng thời gian từ \(\frac{7}{3}\)giây đến 5 giây và vật giảm tốc trong khoảng thời gian từ 0 giây đến \(\frac{7}{3}\) giây.Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
- 20 Bộ đề, Tổng ôn, sổ tay môn Toán (có đáp án chi tiết) ( 55.000₫ )
- 250+ Công thức giải nhanh môn Toán 12 (chương trình mới) ( 18.000₫ )
- Sổ tay lớp 12 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa, KTPL (chương trình mới) ( 36.000₫ )
- Tổng ôn lớp 12 môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Anh, Sinh Sử, Địa, KTPL (Form 2025) ( 36.000₫ )
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
a) Ta có: \(\overline P (x) = \frac{{R(x) - C(x)}}{x} = \frac{{75,5x - 25,5x - 1000}}{x} = 50 - \frac{{1000}}{x}\) (triệu đồng).
Tập xác định của hàm lợi nhuận trung bình là: (0; +∞).
b) Với x = 100 thì \(\overline P (100) = 50 - \frac{{1000}}{{100}} = 40\) (triệu đồng).
Với x = 500 thì \(\overline P (500) = 50 - \frac{{1000}}{{500}} = 48\) (triệu đồng).
Với x = 1 000 thì \(\overline P (1000) = 50 - \frac{{1000}}{{1000}} = 49\) (triệu đồng).
c) Ta có: \(\overline P (x) = 50 - \frac{{1000}}{x}\)
\(\overline {P'} \left( x \right) = \frac{{1000}}{{{x^2}}}\)> 0 với mọi x ∈ (0; +∞).
Vậy hàm lợi nhuận trung bình đồng biến trên khoảng (0; +∞).
Mặt khác, \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \overline P (x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {50 - \frac{{1000}}{x}} \right) = 50.\)
Ta có bảng biến thiên như sau:
Như vậy, mặc dù lợi nhuận trung bình luôn tăng khi mức sản xuất tăng nhưng không vượt quá 50 triệu đồng.
Lời giải
a) Ta có: \(\omega = \frac{{2\pi }}{T} = \frac{{2\pi }}{4} = \frac{\pi }{2}.\)
Khi đó, vị trí của vật tại thời điểm t là x(t) = 0,24cos\(\frac{{\pi t}}{2}\) (m).
Suy ra vị trí của vật tại thời điểm t = 0,5 giây là x(0,5) = 0,24cos\(\frac{{0,5\pi }}{2}\) = \(0,12\sqrt 2 \) (m).
b) Vận tốc của vật là v(t) = x'(t) = −0,12sin\(\frac{{\pi t}}{2}\) (m/s).
Tại thời điểm t = 0,5 giây thì v(0,5) = −0,12sin\(\frac{{0,5\pi }}{2}\) = −0,06π\(\sqrt 2 \) (m/s).
Dấu âm của vận tốc chứng tỏ tại thời điểm này, vật đang chuyển động theo chiều ngược với chiều dương của trục đã chọn.
c) Gia tốc của vật là: a(t) = v'(t) = −0,06π2cos\(\frac{{\pi t}}{2}\) (m/s2).
d) Tại thời điểm t = 0,5 giây, ta có lực tác động lên vật là:
F(0,5) = m.a(0,5) = −0,06π2cos\(\frac{{0,5\pi }}{2}\) = −0,03π\(\sqrt 2 \) (N).
Vậy độ lớn của lực tác dụng lên vật là 0,03π\(\sqrt 2 \) N và lực có hướng ngược với chiều dương của trục đã chọn.
e) Vị trí của vật tại thời điểm ban đầu t = 0 là x(0) = 0,24 (m).
Ta có: x(t) = 0,24cos\(\frac{{\pi t}}{2}\) = −0,12 ⇔ cos\(\frac{{\pi t}}{2}\) = \( - \frac{1}{2}\)
Nghiệm t dương nhỏ nhất của phương trình trên là t = \(\frac{4}{3}\).
Vậy thời gian tối thiểu để vật chuyển động từ vị trí ban đầu đến vị trí x = −0,12 m là
t = \(\frac{4}{3}\) giây.
Khi đó, vận tốc của vật là \(v\left( {\frac{4}{3}} \right)\) = −0,12πsin\(\frac{{\pi \frac{4}{3}}}{2}\) = −0,06π\(\sqrt 3 \) (m/s).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
🔥 Đề thi HOT:
-
5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án (Phần 1)
-
79 câu Chuyên đề Toán 12 Bài 2 Dạng 1: Xác định vectơ pháp tuyến và viết phương trình mặt phẳng có đáp án
-
87 câu Chuyên đề Toán 12 Bài 3 Dạng 1: Xác định vectơ pháp tuyến và viết phương trình mặt phẳng có đáp án
-
56 câu Chuyên đề Toán 12 Bài 2: Lôgarit có đáp án
-
135 câu Bài tập Hình học mặt nón, mặt trụ, mặt cầu cực hay có lời giải (P1)
-
80 câu Trắc nghiệm Tích phân có đáp án (Phần 1)
-
15 câu Trắc nghiệm Số phức có đáp án (Vận dụng)
-
7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án ( Phần 1)