Một vật chuyển động dọc theo trục số nằm ngang, chiều dương từ trái sang phải. Giả sử vị trí của vật x (mét) từ thời điểm t = 0 giây đến thời điểm t = 5 giây được cho bởi công thức x(t) = t³ – 7t² + 11t + 5.

a) Xác định vận tốc v của vật. Xác định khoảng thời gian vật chuyển động sang phải và khoảng thời gian vật chuyển sang trái.

b) Tìm tốc độ của vật và thời điểm vật dừng lại. Tính tốc độ cực đại của vật và khoảng thời gian từ t = 1 giây đến t = 4 giây.

c) Xác định gia tốc a của vật. Tìm khoảng thời gian vật tăng tốc và khoảng thời gian vật giảm tốc.

a) Ta có: \(\overline P (x) = \frac{{R(x) - C(x)}}{x} = \frac{{75,5x - 25,5x - 1000}}{x} = 50 - \frac{{1000}}{x}\) (triệu đồng).

Tập xác định của hàm lợi nhuận trung bình là: (0; +∞).

b) Với x = 100 thì \(\overline P (100) = 50 - \frac{{1000}}{{100}} = 40\) (triệu đồng).

    Với x = 500 thì \(\overline P (500) = 50 - \frac{{1000}}{{500}} = 48\) (triệu đồng).

    Với x = 1 000 thì \(\overline P (1000) = 50 - \frac{{1000}}{{1000}} = 49\) (triệu đồng).

c) Ta có: \(\overline P (x) = 50 - \frac{{1000}}{x}\)

                    \(\overline {P'} \left( x \right) = \frac{{1000}}{{{x^2}}}\)> 0 với mọi x ∈ (0; +∞).

Vậy hàm lợi nhuận trung bình đồng biến trên khoảng (0; +∞).

Mặt khác, \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \overline P (x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {50 - \frac{{1000}}{x}} \right) = 50.\)

Ta có bảng biến thiên như sau:

Như vậy, mặc dù lợi nhuận trung bình luôn tăng khi mức sản xuất tăng nhưng không vượt quá 50 triệu đồng.

a) Ta có: \(\omega = \frac{{2\pi }}{T} = \frac{{2\pi }}{4} = \frac{\pi }{2}.\)

Khi đó, vị trí của vật tại thời điểm t là x(t) = 0,24cos\(\frac{{\pi t}}{2}\) (m).

Suy ra vị trí của vật tại thời điểm t = 0,5 giây là x(0,5) = 0,24cos\(\frac{{0,5\pi }}{2}\) = \(0,12\sqrt 2 \) (m).

b) Vận tốc của vật là v(t) = x'(t) = −0,12sin\(\frac{{\pi t}}{2}\) (m/s).

Tại thời điểm t = 0,5 giây thì v(0,5) = −0,12sin\(\frac{{0,5\pi }}{2}\) = −0,06π\(\sqrt 2 \) (m/s).

Dấu âm của vận tốc chứng tỏ tại thời điểm này, vật đang chuyển động theo chiều ngược với chiều dương của trục đã chọn.

c) Gia tốc của vật là: a(t) = v'(t) = −0,06π²cos\(\frac{{\pi t}}{2}\) (m/s²).

d) Tại thời điểm t = 0,5 giây, ta có lực tác động lên vật là:

F(0,5) = m.a(0,5) = −0,06π²cos\(\frac{{0,5\pi }}{2}\) = −0,03π\(\sqrt 2 \) (N).

Vậy độ lớn của lực tác dụng lên vật là 0,03π\(\sqrt 2 \) N và lực có hướng ngược với chiều dương của trục đã chọn.

e) Vị trí của vật tại thời điểm ban đầu t = 0 là x(0) = 0,24 (m).

Ta có: x(t) = 0,24cos\(\frac{{\pi t}}{2}\) = −0,12 ⇔ cos\(\frac{{\pi t}}{2}\) = \( - \frac{1}{2}\)

Nghiệm t dương nhỏ nhất của phương trình trên là t = \(\frac{4}{3}\).

Vậy thời gian tối thiểu để vật chuyển động từ vị trí ban đầu đến vị trí x = −0,12 m là

t = \(\frac{4}{3}\) giây.

Khi đó, vận tốc của vật là \(v\left( {\frac{4}{3}} \right)\) = −0,12πsin\(\frac{{\pi \frac{4}{3}}}{2}\) = −0,06π\(\sqrt 3 \) (m/s).