Một nhà phân phối đồ chơi trẻ em xác định hàm chi phí C(x) và hàm doanh thu R(x) (đều tính bằng trăm nghìn đồng) cho một loại đồ chơi như sau:

C(x) = 1,2x – 0,0001x², 0 ≤ x ≤ 6 000,

R(x) = 3,6x – 0,0005x², 0 ≤ x ≤ 6 000,

trong đó x là số lượng đồ chơi loại đó được sản xuất và bán ra. Xác định khoảng của x để hàm lợi nhuận P(x) = R(x) – C(x) đồng biến trên khoảng đó. Giải thích ý nghĩa thực tiễn và kết quả nhận được.

a) Ta có: \(\overline P (x) = \frac{{R(x) - C(x)}}{x} = \frac{{75,5x - 25,5x - 1000}}{x} = 50 - \frac{{1000}}{x}\) (triệu đồng).

Tập xác định của hàm lợi nhuận trung bình là: (0; +∞).

b) Với x = 100 thì \(\overline P (100) = 50 - \frac{{1000}}{{100}} = 40\) (triệu đồng).

    Với x = 500 thì \(\overline P (500) = 50 - \frac{{1000}}{{500}} = 48\) (triệu đồng).

    Với x = 1 000 thì \(\overline P (1000) = 50 - \frac{{1000}}{{1000}} = 49\) (triệu đồng).

c) Ta có: \(\overline P (x) = 50 - \frac{{1000}}{x}\)

                    \(\overline {P'} \left( x \right) = \frac{{1000}}{{{x^2}}}\)> 0 với mọi x ∈ (0; +∞).

Vậy hàm lợi nhuận trung bình đồng biến trên khoảng (0; +∞).

Mặt khác, \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \overline P (x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {50 - \frac{{1000}}{x}} \right) = 50.\)

Ta có bảng biến thiên như sau:

Như vậy, mặc dù lợi nhuận trung bình luôn tăng khi mức sản xuất tăng nhưng không vượt quá 50 triệu đồng.

a) Ta có: \(\omega = \frac{{2\pi }}{T} = \frac{{2\pi }}{4} = \frac{\pi }{2}.\)

Khi đó, vị trí của vật tại thời điểm t là x(t) = 0,24cos\(\frac{{\pi t}}{2}\) (m).

Suy ra vị trí của vật tại thời điểm t = 0,5 giây là x(0,5) = 0,24cos\(\frac{{0,5\pi }}{2}\) = \(0,12\sqrt 2 \) (m).

b) Vận tốc của vật là v(t) = x'(t) = −0,12sin\(\frac{{\pi t}}{2}\) (m/s).

Tại thời điểm t = 0,5 giây thì v(0,5) = −0,12sin\(\frac{{0,5\pi }}{2}\) = −0,06π\(\sqrt 2 \) (m/s).

Dấu âm của vận tốc chứng tỏ tại thời điểm này, vật đang chuyển động theo chiều ngược với chiều dương của trục đã chọn.

c) Gia tốc của vật là: a(t) = v'(t) = −0,06π²cos\(\frac{{\pi t}}{2}\) (m/s²).

d) Tại thời điểm t = 0,5 giây, ta có lực tác động lên vật là:

F(0,5) = m.a(0,5) = −0,06π²cos\(\frac{{0,5\pi }}{2}\) = −0,03π\(\sqrt 2 \) (N).

Vậy độ lớn của lực tác dụng lên vật là 0,03π\(\sqrt 2 \) N và lực có hướng ngược với chiều dương của trục đã chọn.

e) Vị trí của vật tại thời điểm ban đầu t = 0 là x(0) = 0,24 (m).

Ta có: x(t) = 0,24cos\(\frac{{\pi t}}{2}\) = −0,12 ⇔ cos\(\frac{{\pi t}}{2}\) = \( - \frac{1}{2}\)

Nghiệm t dương nhỏ nhất của phương trình trên là t = \(\frac{4}{3}\).

Vậy thời gian tối thiểu để vật chuyển động từ vị trí ban đầu đến vị trí x = −0,12 m là

t = \(\frac{4}{3}\) giây.

Khi đó, vận tốc của vật là \(v\left( {\frac{4}{3}} \right)\) = −0,12πsin\(\frac{{\pi \frac{4}{3}}}{2}\) = −0,06π\(\sqrt 3 \) (m/s).