Câu hỏi:
22/08/2024 275Một chiếc xe nhỏ chuyển động không có ma sát, gắn vào tường bằng một lò xo (xem hình vẽ), được kéo ra khỏi vị trí đứng yên 10 cm rồi thả ra tại thời điểm ban đầu t = 0 giây để chuyển động trong 4 giây. Vị trí s (cm) tại thời điểm t giây là s = 10cosπt.
a) Tốc độ lớn nhất của xe là bao nhiêu? Khi nào xe chuyển động với tốc độ như vậy, khi đó xe đang ở vị trí nào và gia tốc lúc đó có độ lớn là bao nhiêu?
b) Xe ở đâu khi độ lớn gia tốc là lớn nhất? Khi đó vận tốc của xe là bao nhiêu?
Sách mới 2k7: 30 đề đánh giá năng lực DHQG Hà Nội, Tp. Hồ Chí Minh, BKHN 2025 mới nhất (600 trang - chỉ từ 160k).
Quảng cáo
Trả lời:
a) Vận tốc của xe là v(t) = s'(t) = −10πsinπt (cm/s).
Do đó, gia tốc của xe là a(t) = v'(t) = −10π2cosπt (cm/s2).
Ta có: v'(t) = 0 ⇔ t ∈ \(\left\{ {\frac{1}{2};\frac{3}{2};\frac{5}{2};\frac{7}{2}} \right\}\) (do t ∈ [0; 4]).
Mặt khác, v(0) = v(4) = 0; v\(\left( {\frac{1}{2}} \right)\) = v\(\left( {\frac{3}{2}} \right)\) = v\(\left( {\frac{5}{2}} \right)\) = v\(\left( {\frac{7}{2}} \right)\) = −10π.
Tốc độ của độ lớn của vận tốc, tức là \(\left| {v\left( t \right)} \right|\).
Vậy tốc độ lớn nhất của xe là 10π (cm/s), đạt được tại các thời điểm: \(\frac{1}{2};\frac{3}{2};\frac{5}{2};\frac{7}{2}\) giây.
Tại các thời điểm đó, xe đều có gia tốc bằng 0 và tại các vị trí s = 0 (tức là ở vị trí xe đứng yên, khi mà chưa kéo lò xo).
b) Ta có: a'(t) = 10π3sinπt
a'(t) = 0 ⇔ t ∈ {0; 1; 2; 3; 4}.
Khi đó, a(0) = a(2) = a(4) = −10π2; a(1) = a(3) = 10π2.
Độ lớn gia tốc của xe là \[\left| {a\left( t \right)} \right|\].
Do đó, độ lớn gia tốc là lớn nhất tại các thời điểm 0; 1; 2; 3; 4 giây.
Khi t = 0; 2; 4 giây, xe ở vị trí s = 10 (cm); khi t = 1; 3 giây, xe ở vị trí s = −10 (cm).
Vậy độ lớn của gia tốc của xe lớn nhất tại các vị trí s = 10 (cm) hoặc s = −10 (cm) (tức là khi xe ở mép phải hoặc mép trái của quãng đường dao động) và tại các vị trí đó, vận tốc của xe đều bằng 0.
Đã bán 152
Đã bán 114
Đã bán 132
Đã bán 47
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Giả sử một chiếc xe tải khi di chuyển với tốc độ x dặm/giờ sẽ tiêu thụ nhiên liệu ở mức \(\frac{1}{{200}}\left( {\frac{{2500}}{x} + x} \right)\) gallon/dặm. Nếu giá nhiên liệu là 3,6 USD/gallon thì chi phí nhiên liệu C (tính bằng USD) khi lái xe 200 dặm với tốc dộ x dặm/giờ được cho bởi công thức
C = C(x) = \(3,6.\left( {\frac{{2500}}{x} + x} \right)\).
Ở đây, dặm và gallon là những đơn vị đo lường phổ biến của Mỹ. Biết rằng tốc độ (dặm/giờ) của xe tải trên một tuyến đường cao tốc bị hạn chế trong khoảng [10; 75]. Hỏi:
a) Lái xe ở tốc độ nào thì chi phí nhiên liệu sẽ ít nhất?
b) Nếu người lái xe tải được trả lương 28 USD/ giờ và tiền lương được cộng vào chi phí nhiên liệu thì tốc độ di chuyển của xe tải là bao nhiêu để chi phí tiết kiệm nhất (tức là tổng chi phí mà công ty phải trả cho lái xe và chi phí nhiên liệu là nhỏ nhất)?
Câu 2:
Lợi nhuận thu được P của một công ty khi dùng số tiền s chi cho quảng cáo được cho bởi công thức
P = P(s) = \( - \frac{1}{{10}}\)s3 + 6s2 + 400, s ≥ 0.
Ở đây các số được tính bằng đơn vị nghìn USD.
a) Tìm số tiền công ty phải chi cho quảng cáo để mang lại lợi nhuận tối đa.
b) Lợi nhuận thu được của công ty thay đổi thế nào khi số tiền chi cho quảng cáo thay đổi?
Câu 3:
Một vật được phóng lên trời theo một góc xiên θ (45° ≤ x ≤ 90°) so với phương ngang với vận tốc ban đầu v0 (feet/giây) tính từ chân mặt phẳng nghiêng tạo một góc 45° so với phương ngang (xem hình vẽ). Nếu bỏ qua sức cản của không khí thì quãng đường R (tính bằng feet, 1 feet = 0,3048 m) mà vật di chuyển lên mặt phẳng nghiêng được cho bởi hàm số
R(θ) = \(\frac{{v_0^2\sqrt 2 }}{{16}}\cos \theta \left( {\sin \theta - \cos \theta } \right).\)
Góc nén θ nào làm cho quãng đường R lớn nhất? Giá trị lớn nhất của R là bao nhiêu?
Câu 4:
Hai nguồn nhiệt đặt cách nhau s mét, một nguồn có cường độ a đặt ở điểm A và một nguồn có cường độ b đặt ở điểm B. Cường độ nhiệt tại điểm P nằm trên đoạn thẳng nối A và B được tính theo công thức
\(I = \frac{a}{{{x^2}}} + \frac{b}{{{{\left( {s - x} \right)}^2}}}\)
trong đó x (m) là khoảng cách giữa P và A. Tại điểm nào nằm giữa A và B nhiệt độ sẽ thấp nhất?
Câu 5:
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau:
a) y = −x3 + 3x2 + 2;
b) \(y = \frac{x}{{{x^2} + 2}}\).
Câu 6:
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau:
a) y = 3x4 – 4x3;
b) \(y = \frac{{{x^2}}}{{x - 1}}\), x > 1.
về câu hỏi!