Câu hỏi:

24/08/2024 1,382

Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O). Gọi H là trực tâm của tam giác ABC và M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng AH = 2OM.

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack
Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O). Gọi H là trực tâm của tam giác ABC và M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng AH = 2OM. (ảnh 1)

Kẻ đường cao CD của tam giác ABC. Gọi N là trung điểm của cạnh AC.

Khi đó tam giác AOC cân tại O nên ON cũng là đường phân giác của góc AOC.

Do vậy \[\widehat {AON} = \frac{{\widehat {AOC}}}{2} = \widehat {ABC}.\]

Suy ra \(\widehat {NAO} = 90^\circ - \widehat {AON} = 90^\circ - \widehat {ABC} = \widehat {DAH}.\)

Tương tự \[\widehat {MCO} = 90^\circ - \widehat {COM} = 90^\circ - \widehat {DAC} = \widehat {DCA}.\]

Hai tam giác NAO và DAH có:

\(\widehat {NAO} = \widehat {DAH}\) (chứng minh trên), \(\widehat {ANO} = \widehat {ADH} = 90^\circ .\)

Do đó ∆NAO ∆DAH (g.g).

Suy ra \(\frac{{AO}}{{AH}} = \frac{{AN}}{{AD}},\) hay \(AH = \frac{{AO.AD}}{{AN}} = \frac{{2AO.AD}}{{AC}}.\) (1)

Hai tam giác OMC và ADC có:

\[\widehat {MCO} = \widehat {DCA}\] (chứng minh trên), \[\widehat {OMC} = \widehat {ADC} = 90^\circ .\]

Vì vậy ∆OMC ∆ADC (g.g).

Suy ra \(\frac{{OM}}{{AD}} = \frac{{OC}}{{AC}}.\)

Do đó \(2OM = \frac{{2OC.AD}}{{AC}} = \frac{{2OA.OC}}{{AC}} = AH\) (theo (1)).

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

Cho tam giác ABC có các đường cao BE, CF cắt nhau tại H. Gọi M là trung điểm của BC và I là trung điểm của AH. Chứng minh rằng: a) Tứ giác AEHF nội tiếp một đường tròn tâm I; b) ME, MF tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEHF. (ảnh 1)

a) Do hai tam giác AEH và AFH vuông tại E và F nên IE = IA = IH = IF.

Vì vậy tứ giác AEHF nội tiếp đường tròn (I, IA).

b) Tương tự như trên, tứ giác BCEF có \(\widehat {BFC} = \widehat {BEC} = 90^\circ \) nên tứ giác BCEF nội tiếp đường tròn (M, MB).

Suy ra \[\widehat {AEF} = 180^\circ - \widehat {{\rm{CEF}}} = \widehat {FBC} = \widehat {ABC}.\]

Vì ∆IFA cân tại I nên \(\widehat {IFA} = \widehat {IAF} = \widehat {HAB} = 90^\circ - \widehat {ABC}.\) (1)

Mặt khác, ta có MF = MC, hay ∆MFC cân tại M. Suy ra \(\widehat {MFC} = \widehat {MCF}.\) (2)

Vì vậy ta có:

\(\widehat {MFI} = \widehat {MFC} + \widehat {CFI} = \widehat {MCF} + \left( {90^\circ - \widehat {IFA}} \right) = \left( {90^\circ - \widehat {ABC}} \right) + \widehat {ABC} - 90^\circ \) (theo (1) và (2)).

Do đó MF IF. Suy ra MF tiếp xúc với (I, IA). Tương tự MR tiếp xúc với (I, IA).

Lời giải

Hình vuông cạnh 3 cm có đường chéo bằng: \(\sqrt {{3^2} + {3^2}} = 3\sqrt 2 \) (cm).

Đường tròn ngoại tiếp hình vuông này có bán kính: \(R = \frac{{3\sqrt 2 }}{2}\) (cm).

Vậy lục giác đều có cạnh: \(a = R = \frac{{3\sqrt 2 }}{2}\) (cm).

Chu vi của lục giác đều là: \(\mathcal{C} = 6.\frac{{3\sqrt 2 }}{2} = 9\sqrt 2 \) (cm).

Lục giác đều là hợp của 6 tam giác đều cạnh a, chiều cao \(h = \frac{{\sqrt 3 }}{2}a = \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\frac{{3\sqrt 2 }}{2} = \frac{{3\sqrt 6 }}{4}\,\,(cm)\) nên có diện tích là:

\(S = 6.\frac{{ah}}{2} = 6.\frac{{\frac{{3\sqrt 2 }}{2}.\frac{{3\sqrt 6 }}{4}}}{2} = \frac{{27\sqrt 3 }}{4}\) (cm2).

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP