Tìm các giá trị của m để phương trình (m² – 1)x² – 5x + 7m + 1 = 0 là phương trình bậc hai một ẩn.

a) 2x² – 7x = 0

x(2x ‒ 7) = 0

x = 0 hặc 2x ‒ 7 = 0

x = 0 hoặc \[x = \frac{7}{2}.\]

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt là x₁ = 0, \[{x_2} = \frac{7}{2}.\]

b) \( - {x^2} + \sqrt 8 x - \sqrt {21} = 0;\)

Phương trình trên có \[\Delta = {\left( {\sqrt 8 } \right)^2} - 4 \cdot \left( { - 1} \right) \cdot \left( { - \sqrt {21} } \right) = 8 - 4\sqrt {21} < 0.\]

Suy ra phương trình \( - {x^2} + \sqrt 8 x - \sqrt {21} = 0\) vô nghiệm.

c) \( - \sqrt 5 {x^2} + 2x + 3\sqrt 5 = 0;\)

Phương trình trên có \[\Delta ' = {1^2} - \left( { - \sqrt 5 } \right) \cdot 3\sqrt 5 = 16 > 0\] và \(\sqrt {\Delta '} = \sqrt {16} = 4.\)

Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

\[{x_1} = \frac{{ - 1 + 4}}{{ - \sqrt 5 }} = \frac{3}{{ - \sqrt 5 }} = \frac{{ - 3\sqrt 5 }}{5}.\]

\[{x_2} = \frac{{ - 1 - 4}}{{ - \sqrt 5 }} = \frac{{ - 5}}{{ - \sqrt 5 }} = \sqrt 5 .\]

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là \({x_1} = \frac{{ - 3\sqrt 5 }}{5};{x_2} = \sqrt 5 .\)

d) 1,5x² – 0,4x – 1,2 = –1,1x² + 1

 2,6x² – 0,4x ‒ 2,2 = 0.

Phương trình trên có ∆’ = (‒0,2)² ‒ 2,6.(‒2,2) = 5,76 > 0 và \(\sqrt {\Delta '} = \sqrt {5,76} = 2,4.\)

Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

\[{x_1} = \frac{{0,2 + 2,4}}{{2,6}} = \frac{{2,6}}{{2,6}} = 1;\]

\[{x_2} = \frac{{0,2 - 2,4}}{{2,6}} = \frac{{ - 2,2}}{{2,6}} = \frac{{ - 11}}{{13}}.\]

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là \({x_1} = 1;\,\,{x_2} = \frac{{ - 11}}{{13}}.\)

e) \(\left( {\sqrt 7 - 2} \right){x^2} + 3x + 10 = {x^2} + 10\)

\(\left( {\sqrt 7 - 2 - 1} \right){x^2} + 3x = 0\)

\(\left( {\sqrt 7 - 3} \right){x^2} + 3x = 0\)

\[x\left[ {\left( {\sqrt 7 - 3} \right)x + 3} \right] = 0\]

x = 0 hoặc \[\left( {\sqrt 7 - 3} \right)x + 3 = 0\]

x = 0 hoặc \[x = \frac{{ - 3}}{{\sqrt 7 - 3}}\]

x = 0 hoặc \(x = \frac{{ - 3\left( {\sqrt 7 + 3} \right)}}{{7 - 9}} = \frac{{3\left( {\sqrt 7 + 3} \right)}}{2}.\)

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là \({x_1} = 0;\,\,{x_2} = \frac{{3\left( {\sqrt 7 + 3} \right)}}{2}.\)

g) \( - \sqrt {32} {x^2} - 4x + \sqrt 2 = \sqrt 2 {x^2} + x - \sqrt 8 \)

\[\left( {\sqrt 2 + \sqrt {32} } \right){x^2} + 5x - \sqrt 2 - \sqrt 8 = 0\]

\[\left( {\sqrt 2 + 4\sqrt 2 } \right){x^2} + 5x - \sqrt 2 - \sqrt 8 = 0\]

\[5\sqrt 2 {x^2} + 5x - \sqrt 2 - \sqrt 8 = 0.\]

Phương trình trên có \[\Delta = {5^2} - 4 \cdot 5\sqrt 2 \cdot \left( { - \sqrt 2 - \sqrt 8 } \right)\]

 \[ = 25 - 20\sqrt 2 \cdot \left( { - \sqrt 2 - \sqrt 8 } \right)\]

= 25 + 40 + 80 = 145.

\[{x_1} = \frac{{ - 5 + \sqrt {145} }}{{2 \cdot 5\sqrt 2 }} = \frac{{\left( { - 5 + \sqrt {145} } \right)\sqrt 2 }}{{10 \cdot 2}} = \frac{{ - 5\sqrt 2 + \sqrt {290} }}{{20}};\]

\[{x_2} = \frac{{ - 5 - \sqrt {145} }}{{2 \cdot 5\sqrt 2 }} = \frac{{\left( { - 5 - \sqrt {145} } \right)\sqrt 2 }}{{10 \cdot 2}} = \frac{{ - 5\sqrt 2 - \sqrt {290} }}{{20}}.\]

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là \[{x_1} = \frac{{ - 5\sqrt 2 + \sqrt {290} }}{{20}};\] \[{x_2} = \frac{{ - 5\sqrt 2 - \sqrt {290} }}{{20}}.\]

Đổi 80 cm = 0,8 m.

Diện tích lát đá là: 1 000 . (0,8 . 0,8) = 640 (m²).

Diện tích sân có dạng hình chữ nhật là: a(a + 8) (m²).

Diện tích còn lại để trồng cỏ là: a(a + 8) – 640 (m²).

Mặt khác, diện tích trồng cỏ là: 4 480 000 : 35 000 = 128 (m²).

Từ đó, ta có phương trình: a(a + 8) – 640 = 128 hay a² + 8a – 768 = 0.

Phương trình trên có ∆’ = 4² ‒ 1.(‒768) = 784 > 0 và \(\sqrt {\Delta '} = \sqrt {784} = 28.\)

Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt:

\[{a_1} = \frac{{ - 4 + 28}}{1} = 24\] (thỏa mãn điều kiện a > 0);

\[{a_2} = \frac{{ - 4 - 28}}{1} = - 32\] (không thỏa mãn điều kiện a > 0).

Vậy a = 24 (m).