Cho tam giác ABC cân tại A, \(\widehat A < 90^\circ .\) Vẽ đường tròn đường kính AB cắt BC và AC lần lượt tại D và E. Chứng minh rằng:

a) ∆DBE là tam giác cân.

b) \(\widehat {CBE} = \frac{1}{2}\widehat {BAC}.\)

Cho đường tròn (O; R) và một điểm M bên trong đường tròn đó. Qua M kẻ hai dây cung AB và CD vuông góc với nhau (D thuộc cung nhỏ AB). Vẽ đường kính DE. Chứng minh rằng:

a) MA.MB = MC.MD.

b) Tứ giác ABEC là hình thang cân.

c) Tổng MA² + MB² + MC² + MD² có giá trị không đổi khi M thay đổi vị trí trong đường tròn (O).

Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; R’) (R > R’) tiếp xúc trong tại A. Một tiếp tuyến của đường tròn (O’) tại M cắt đường tròn (O) tại hai điểm B, C. Đường thẳng BO’ cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai D và cắt đường thẳng AM tại E. Gọi F là giao điểm thứ hai của đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE với AC và N là giao điểm thứ hai của AN với (O). Chứng minh rằng:

a) O’M // ON.

b) Ba điểm D, N, F thẳng hàng.

c) DF là tia phân giác của góc \(\widehat {BDC}.\)

Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; R’) cắt nhau tại hai điểm A và B phân biệt. Vẽ đường thẳng vuông góc với AB tại A và cắt (O), (O’) lần lượt tại C, D. Tia CB cắt (O’) tại E, tia DB cắt (O) tại F. Chứng minh rằng:

a) CD.CA = CB.CE.

b) DC.DA = DB.DF.

c) CD² = CB.CE + DB.DF.

Chọn đúng hoặc sai cho mỗi ý a), b), c), d).

Cho AB và AC là hai tiếp tuyến tiếp xúc với đường tròn (O; R) lần lượt tại hai tiếp điểm B và C (Hình 8).

a) AB = AO.

b) Tia AO là tia phân giác của \(\widehat {BAC}.\)

c) Tia OA là tia phân giác của \(\widehat {BOC}.\)

d) OA = OB = R.

Cho tam giác ABC nhọn với các đường cao AA’, BB’, CC’. Chứng minh rằng A’A là tia phân giác của góc \(\widehat {B'A'C'}.\)

Cung 50° của một đường tròn đường kính d = 25 cm có độ dài (lấy π theo máy tính và kết quả làm tròn đến hàng phần trăm) là

A. 43,64 cm.

B. 10,91 cm.

C. 21,82 cm.

D. 87,28 cm.