Cho tam giác ABC cân tại A, \(\widehat A < 90^\circ .\) Vẽ đường tròn đường kính AB cắt BC và AC lần lượt tại D và E. Chứng minh rằng:

a) ∆DBE là tam giác cân.

b) \(\widehat {CBE} = \frac{1}{2}\widehat {BAC}.\)

Do AB ⊥ CD nên \(\widehat {AMC} = \widehat {DMB} = 90^\circ .\)

a) Xét đường tròn (O) có \(\widehat {ACD} = \widehat {ABD}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AD).

Xét ∆MAC và ∆MDB, có:

\(\widehat {AMC} = \widehat {DMB} = 90^\circ ,\,\,\widehat {ACM} = \widehat {DBM}\)

Do đó ∆MAC ᔕ ∆MDB (g.g).

Suy ra \(\frac{{MA}}{{MD}} = \frac{{MC}}{{MB}}\) hay MA.MB = MC.MD.

b) Vì DE là đường kính của đường tròn (O) nên \(\widehat {ECD} = \widehat {EBD} = 90^\circ .\)

Suy ra CE ⊥ CD.

Mà AB ⊥ CD nên AB // CE, do đó tứ giác ABEC là hình thang.

Mặt khác, \(\widehat {CAB} + \widehat {ACM} = 90^\circ \) (tổng hai góc nhọn trong ∆ACM vuông tại M);

                 \(\widehat {EBA} + \widehat {MBD} = \widehat {EBD} = 90^\circ ;\)

                 \(\widehat {ACM} = \widehat {DBM}\)

Suy ra \(\widehat {EBA} = \widehat {CAB}.\)

Hình thang ABEC có \(\widehat {EBA} = \widehat {CAB}\) nên ABEC là hình thang cân.

c) Xét ∆ACM vuông tại M, theo định lí Pythagore, ta có:

AC² = MA² + MC².

Xét ∆BDM vuông tại M, theo định lí Pythagore, ta có:

BD² = MB² + MD².

Do đó MA² + MB² + MC² + MD² = AC² + BD².

Lại có AC = BE (vì ABEC là hình thang cân) nên:

MA² + MB² + MC² + MD² = AC² + BD² = BE² + BD².

Xét ∆BDE vuông tại B, theo định lí Pythagore, ta có:

DE² = BD² + BE².

Do đó MA² + MB² + MC² + MD² = BE² + BD² = DE² = (2R)² = 4R², đây là giá trị không đổi do R không đổi.ở

Vậy tổng MA² + MB² + MC² + MD² có giá trị không đổi.

Gọi H là trực tâm của tam giác ABC.

Do AA’, BB’, CC’ là đường cao ∆ABC nên AA’ ⊥ BC; BB’ ⊥ AC; CC’ ⊥ AB.

Ta có: \(\widehat {BC\prime H} = \widehat {BA\prime H} = 90^\circ ,\) nên bốn điểm B, A’, H, C’ cùng nằm trên đường tròn đường kính BH.

Do đó \[\widehat {C'A'H} = \widehat {C'BH}\] (hai góc nội tiếp cùng chắn cung C’H).

Chứng minh tương tự, ta cũng có \(\widehat {B\prime A\prime H} = \widehat {B\prime CH}.\)

Mà \(\widehat {C\prime BH} = \widehat {B\prime CH}\) (cùng phụ với \(\widehat {BAC}{\rm{)}},\) nên ta có \(\widehat {C\prime A\prime H} = \widehat {B\prime A\prime H}.\)

Vậy A’A là tia phân giác của góc \(\widehat {B\prime A\prime C\prime }.\)