Câu hỏi:
28/08/2024 2,516
Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; R’) (R > R’) tiếp xúc trong tại A. Một tiếp tuyến của đường tròn (O’) tại M cắt đường tròn (O) tại hai điểm B, C. Đường thẳng BO’ cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai D và cắt đường thẳng AM tại E. Gọi F là giao điểm thứ hai của đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE với AC và N là giao điểm thứ hai của AN với (O). Chứng minh rằng:
a) O’M // ON.
b) Ba điểm D, N, F thẳng hàng.
c) DF là tia phân giác của góc \(\widehat {BDC}.\)
Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; R’) (R > R’) tiếp xúc trong tại A. Một tiếp tuyến của đường tròn (O’) tại M cắt đường tròn (O) tại hai điểm B, C. Đường thẳng BO’ cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai D và cắt đường thẳng AM tại E. Gọi F là giao điểm thứ hai của đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE với AC và N là giao điểm thứ hai của AN với (O). Chứng minh rằng:
a) O’M // ON.
b) Ba điểm D, N, F thẳng hàng.
c) DF là tia phân giác của góc \(\widehat {BDC}.\)
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
a) Xét ∆O’AM cân tại O’ (do O’A = O’M) nên \(\widehat {O'AM} = \widehat {O\prime MA}.\)
Xét ∆OAN cân tại O (do OA = ON) nên \(\widehat {OAN} = \widehat {ANO}.\)
Do đó \(\widehat {O\prime MA} = \widehat {ONA},\) mà hai góc này ở vị trí đồng vị, suy ra O’M // ON.
b) Do BC là tiếp tuyến của (O’) nên O’M ⊥ BC.
Mà O’M // ON nên ON ⊥ BC.
Xét ∆OBC cân tại O (do OB = OC) nên đường cao ON đồng thời là đường phân giác của tam giác, hay \[\widehat {BON} = \widehat {CON},\] do đó hay N là điểm chính giữa cung BC.
Mặt khác (hai góc nội tiếp cùng chắn cung NC của đường tròn (O)) và (góc nội tiếp chắn cung BN của đường tròn (O))
Do đó \(\widehat {BDN} = \widehat {NAC} = \widehat {EAF}.\) (1)
Trong đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE, ta có:
\(\widehat {EAF} = \widehat {EDF} = \widehat {BDF}\) (góc nội tiếp cùng chắn cung EF). (2)
Từ (1), (2) ta có \(\widehat {BDF} = \widehat {BDN},\) suy ra D, N, F thẳng hàng.
c) Ta có hai cung BN và NC có số đo bằng nhau, suy ra \(\widehat {BDN} = \widehat {NDC}\) (hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau) hay DF là tia phân giác của \(\widehat {BDC}.\)
Hot: 500+ Đề thi vào 10 file word các Sở Hà Nội, TP Hồ Chí Minh có đáp án 2025 (chỉ từ 100k). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
a) Ta có D, E cùng nằm trên đường tròn đường kính AB nên \(\widehat {ADB} = \widehat {AEB} = 90^\circ \) hay AD ⊥ BC và BE ⊥ AC.
Xét ∆ABC cân tại A có AD là đường cao nên đồng thời là đường trung tuyến của tam giác, do đó D là trung điểm BC, suy ra \(DB = DC = \frac{1}{2}BC.\)
Xét ∆BEC vuông tại E có ED là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC nên \(ED = \frac{1}{2}BC.\)
Do đó DE = DB = DC.
Vậy ∆BDE cân tại D.
b) Xét ∆ABC cân tại A có AD là đường cao nên đồng thời là tia phân giác của \(\widehat {BAC},\) do đó \(\widehat {BAD} = \frac{1}{2}\widehat {BAC}.\)
Ta có \(\widehat {DBE} = \widehat {DEB}\) (do ∆BDE cân tại D) và \(\widehat {BAD} = \widehat {BED}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung BD).
Suy ra \[\widehat {DBE} = \frac{1}{2}\widehat {BAC}\] hay \[\widehat {CBE} = \frac{1}{2}\widehat {BAC}.\]
Lời giải
Do AB ⊥ CD nên \(\widehat {AMC} = \widehat {DMB} = 90^\circ .\)
a) Xét đường tròn (O) có \(\widehat {ACD} = \widehat {ABD}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AD).
Xét ∆MAC và ∆MDB, có:
\(\widehat {AMC} = \widehat {DMB} = 90^\circ ,\,\,\widehat {ACM} = \widehat {DBM}\)
Do đó ∆MAC ᔕ ∆MDB (g.g).
Suy ra \(\frac{{MA}}{{MD}} = \frac{{MC}}{{MB}}\) hay MA.MB = MC.MD.
b) Vì DE là đường kính của đường tròn (O) nên \(\widehat {ECD} = \widehat {EBD} = 90^\circ .\)
Suy ra CE ⊥ CD.
Mà AB ⊥ CD nên AB // CE, do đó tứ giác ABEC là hình thang.
Mặt khác, \(\widehat {CAB} + \widehat {ACM} = 90^\circ \) (tổng hai góc nhọn trong ∆ACM vuông tại M);
\(\widehat {EBA} + \widehat {MBD} = \widehat {EBD} = 90^\circ ;\)
\(\widehat {ACM} = \widehat {DBM}\)
Suy ra \(\widehat {EBA} = \widehat {CAB}.\)
Hình thang ABEC có \(\widehat {EBA} = \widehat {CAB}\) nên ABEC là hình thang cân.
c) Xét ∆ACM vuông tại M, theo định lí Pythagore, ta có:
AC2 = MA2 + MC2.
Xét ∆BDM vuông tại M, theo định lí Pythagore, ta có:
BD2 = MB2 + MD2.
Do đó MA2 + MB2 + MC2 + MD2 = AC2 + BD2.
Lại có AC = BE (vì ABEC là hình thang cân) nên:
MA2 + MB2 + MC2 + MD2 = AC2 + BD2 = BE2 + BD2.
Xét ∆BDE vuông tại B, theo định lí Pythagore, ta có:
DE2 = BD2 + BE2.
Do đó MA2 + MB2 + MC2 + MD2 = BE2 + BD2 = DE2 = (2R)2 = 4R2, đây là giá trị không đổi do R không đổi.ở
Vậy tổng MA2 + MB2 + MC2 + MD2 có giá trị không đổi.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
🔥 Đề thi HOT:
-
Dạng 5: Bài toán về lãi suất ngân hàng có đáp án
-
Dạng 6: Bài toán về tăng giá, giảm giá và tăng, giảm dân số có đáp án
-
Dạng 2: Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bài toán cực trị xảy ra ở biên có đáp án
-
15 câu Trắc nghiệm Toán 9 Kết nối tri thức Bài 1. Khái niệm phương trình và hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có đáp án
-
12 bài tập Một số bài toán thực tế liên quan đến bất đẳng thức có lời giải
-
Tổng hợp các bài toán thực tế ôn thi vào 10 Toán 9 có đáp án (Phần 2: Hình học)
-
12 bài tập Một số bài toán thực tế liên quan đến bất phương trình bậc nhất một ẩn có lời giải
-
Đề ôn thi vào 10 môn Toán có đáp án (Mới nhất)- Đề số 1