Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; R’) cắt nhau tại hai điểm A và B phân biệt. Vẽ đường thẳng vuông góc với AB tại A và cắt (O), (O’) lần lượt tại C, D. Tia CB cắt (O’) tại E, tia DB cắt (O) tại F. Chứng minh rằng:

a) CD.CA = CB.CE.

b) DC.DA = DB.DF.

c) CD² = CB.CE + DB.DF.

a) Ta có D, E cùng nằm trên đường tròn đường kính AB nên \(\widehat {ADB} = \widehat {AEB} = 90^\circ \) hay AD ⊥ BC và BE ⊥ AC.

Xét ∆ABC cân tại A có AD là đường cao nên đồng thời là đường trung tuyến của tam giác, do đó D là trung điểm BC, suy ra \(DB = DC = \frac{1}{2}BC.\)

Xét ∆BEC vuông tại E có ED là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC nên \(ED = \frac{1}{2}BC.\)

Do đó DE = DB = DC.

Vậy ∆BDE cân tại D.

b) Xét ∆ABC cân tại A có AD là đường cao nên đồng thời là tia phân giác của \(\widehat {BAC},\) do đó \(\widehat {BAD} = \frac{1}{2}\widehat {BAC}.\)

Ta có \(\widehat {DBE} = \widehat {DEB}\) (do ∆BDE cân tại D) và \(\widehat {BAD} = \widehat {BED}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung BD).

Suy ra \[\widehat {DBE} = \frac{1}{2}\widehat {BAC}\] hay \[\widehat {CBE} = \frac{1}{2}\widehat {BAC}.\]

Do AB ⊥ CD nên \(\widehat {AMC} = \widehat {DMB} = 90^\circ .\)

a) Xét đường tròn (O) có \(\widehat {ACD} = \widehat {ABD}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AD).

Xét ∆MAC và ∆MDB, có:

\(\widehat {AMC} = \widehat {DMB} = 90^\circ ,\,\,\widehat {ACM} = \widehat {DBM}\)

Do đó ∆MAC ᔕ ∆MDB (g.g).

Suy ra \(\frac{{MA}}{{MD}} = \frac{{MC}}{{MB}}\) hay MA.MB = MC.MD.

b) Vì DE là đường kính của đường tròn (O) nên \(\widehat {ECD} = \widehat {EBD} = 90^\circ .\)

Suy ra CE ⊥ CD.

Mà AB ⊥ CD nên AB // CE, do đó tứ giác ABEC là hình thang.

Mặt khác, \(\widehat {CAB} + \widehat {ACM} = 90^\circ \) (tổng hai góc nhọn trong ∆ACM vuông tại M);

                 \(\widehat {EBA} + \widehat {MBD} = \widehat {EBD} = 90^\circ ;\)

                 \(\widehat {ACM} = \widehat {DBM}\)

Suy ra \(\widehat {EBA} = \widehat {CAB}.\)

Hình thang ABEC có \(\widehat {EBA} = \widehat {CAB}\) nên ABEC là hình thang cân.

c) Xét ∆ACM vuông tại M, theo định lí Pythagore, ta có:

AC² = MA² + MC².

Xét ∆BDM vuông tại M, theo định lí Pythagore, ta có:

BD² = MB² + MD².

Do đó MA² + MB² + MC² + MD² = AC² + BD².

Lại có AC = BE (vì ABEC là hình thang cân) nên:

MA² + MB² + MC² + MD² = AC² + BD² = BE² + BD².

Xét ∆BDE vuông tại B, theo định lí Pythagore, ta có:

DE² = BD² + BE².

Do đó MA² + MB² + MC² + MD² = BE² + BD² = DE² = (2R)² = 4R², đây là giá trị không đổi do R không đổi.ở

Vậy tổng MA² + MB² + MC² + MD² có giá trị không đổi.