Một mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi 144 m, diện tích 1 040 m². Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn đó.

Xét phương trình x² – 3x – 40 = 0.

Ta có ∆ = (–3)² – 4.1.(–40) = 9 + 160 = 169 > 0, nên phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂.

Theo định lí Viète, ta có:

\(S = {x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a} = - \frac{{ - 3}}{1} = 3;\,\,\,P = {x_1}{x_2} = \frac{c}{a} = \frac{{ - 40}}{1} = - 40.\)

a) \[A = x_1^2 + x_2^2 - x_1^2{x_2} - {x_1}x_2^2\]

\[ = x_1^2 + x_2^2 + 2{x_1}{x_2} - 2{x_1}{x_2} - {x_1}{x_2}\left( {{x_1} + {x_2}} \right)\]

\[ = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_2}{x_2} - {x_1}{x_2}\left( {{x_1} + {x_2}} \right)\]

Thay x₁ + x₂ = 3 và x₁x₂ = ‒ 40 vào biểu thức trên, ta được:

A = 3² ‒ 2.(‒40) ‒ (‒40).3

    = 9 + 80 + 120 = 209.

b) \[B = 3{x_1} + 3{x_2} - 2x_1^2 - 2x_2^2\]

\[ = 3\left( {{x_1} + {x_2}} \right) - 2\left( {x_1^2 + x_2^2} \right)\]

\[ = 3\left( {{x_1} + {x_2}} \right) - 2\left( {x_1^2 + x_2^2 + 2{x_1}{x_2} - 2{x_1}{x_2}} \right)\]

\[ = 3\left( {{x_1} + {x_2}} \right) - 2\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}{x_2}} \right]\]

Thay x₁ + x₂ = 3 và x₁x₂ = ‒ 40 vào biểu thức trên, ta được:

B = 3.3 ‒ 2[3² ‒ 2.(‒40)]

   = 9 ‒ 2(9 + 80) = 9 – 2.89

   = 9 ‒ 178 = ‒ 169.

c) \(C = \frac{{{x_2}}}{{{x_1} + 3}} + \frac{{{x_1}}}{{{x_2} + 3}} = \frac{{{x_2}\left( {{x_2} + 3} \right) + {x_1}\left( {{x_1} + 3} \right)}}{{\left( {{x_1} + 3} \right)\left( {{x_2} + 3} \right)}}\)

\[ = \frac{{x_2^2 + 3{x_2} + x_1^2 + 3{x_1}}}{{{x_1}{x_2} + 3{x_1} + 3{x_2} + 9}}\]

\[ = \frac{{x_2^2 + x_1^2 + 2{x_1}{x_2} - 2{x_1}{x_2} + 3\left( {{x_2} + {x_1}} \right)}}{{{x_1}{x_2} + 3\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 9}}\]

\[ = \frac{{{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}{x_2} + 3\left( {{x_2} + {x_1}} \right)}}{{{x_1}{x_2} + 3\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 9}}\]

Thay x₁ + x₂ = 3 và x₁x₂ = ‒ 40 vào biểu thức trên, ta được

\[C = \frac{{{3^2} - 2 \cdot \left( { - 40} \right) + 3 \cdot 3}}{{ - 40 + 3 \cdot 3 + 9}}\]

   \[ = \frac{{9 + 80 + 9}}{{ - 40 + 9 + 9}} = \frac{{98}}{{ - 22}} = - \frac{{49}}{{11}}.\]

a) Phương trình 24x² – 19x – 5 = 0 có:

a + b + c = 24 + (–19) + (–5) = 0.

Vậy phương trình có hai nghiệm là \({x_1} = 1;\,\,{x_2} = \frac{c}{a} = - \frac{5}{{24}}.\)

b) Phương trình 2,5x² + 7,2x + 4,7 = 0 có:

a – b + c = 2,5 – 7,2 + 4,7 = 0.

Vậy phương trình có hai nghiệm là \({x_1} = - 1;\,\,{x_2} = - \frac{c}{a} = - \frac{{47}}{{25}}.\)

c) Phương trình \(\frac{3}{2}{x^2} + 5x + \frac{7}{2} = 0\) có:

\(a - b + c = \frac{3}{2} - 5 + \frac{7}{2} = \frac{3}{2} - \frac{{10}}{2} + \frac{7}{2} = \frac{0}{2} = 0.\)

Vậy phương trình có hai nghiệm là \({x_1} = - 1;\,\,{x_2} = - \frac{c}{a} = - \frac{{\frac{7}{2}}}{{\frac{3}{2}}} = - \frac{7}{3}.\)

d) Phương trình \(2{x^2} - \left( {2 + \sqrt 3 } \right)x + \sqrt 3 = 0\) có:

\(a + b + {\rm{c}} = 2 + \left[ { - \left( {2 + \sqrt 3 } \right)} \right] + \sqrt 3 = 2 - 2 - \sqrt 3 + \sqrt 3 = 0.\)

Vậy phương trình có hai nghiệm là \({x_1} = 1;\,\,{x_2} = \frac{c}{a} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\)