Cho biểu thức \(P = \frac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  - 1}} + \frac{{2\sqrt x  + 1}}{{x - \sqrt x }} + \frac{1}{{\sqrt x }}\) với \(x > 0,x \ne 1.\)

1) Rút gọn biểu thức \(P.\)

2) Tìm tất cả các giá trị của \(x\) để \(P < 0.\)

1) Với \(x > 0,\,\,x \ne 1\) ta có:

\(P = \frac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  - 1}} + \frac{{2\sqrt x  + 1}}{{x - \sqrt x }} + \frac{1}{{\sqrt x }}\)

\( = \frac{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\sqrt x }} + \frac{{2\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 1} \right)}} + \frac{{\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 1} \right)}}\)

\( = \frac{{x + \sqrt x  + 2\sqrt x  + 1 + \sqrt x  - 1}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\sqrt x }}\)\( = \frac{{x + 4\sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 1} \right)}}\)

\( = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 4} \right)}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 1} \right)}} = \frac{{\sqrt x  + 4}}{{\sqrt x  - 1}}.\)

Vậy với \(x > 0,\,\,x \ne 1\) thì \(P = \frac{{\sqrt x  + 4}}{{\sqrt x  - 1}}.\)

2) Với \(x > 0,\,\,x \ne 1\) ta có: \(P < 0\) tức là \(\frac{{\sqrt x  + 4}}{{\sqrt x  - 1}} < 0\) suy ra \(\sqrt x  - 1 < 0\) (vì \(\sqrt x  + 4 > 0)\)

Do đó \(\sqrt x  < 1\) hay \(x < 1.\)

Kết hợp với điều kiện \(x > 0,\,\,x \ne 1\) ta có \(0 < x < 1.\)