Câu hỏi:

29/08/2024 804

1) Giải phương trình \({x^2} + 6x + 5 = 0.\)

2) Cho phương trình \({x^2} - x + 4m + 2 = 0\) \[(m\] là tham số). Tìm các giá trị của \[m\] để phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\) thỏa mãn hệ thức \({x_1}^2 - 4{x_1}{x_2} + 3{x_2}^2 = 5\left( {{x_1} - {x_2}} \right).\)
 

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack

1) Xét phương trình \({x^2} + 6x + 5 = 0\)

Phương trình trên có \(a - b + c = 1 - 6 + 5 = 0\) nên phương trình này có hai nghiệm là \({x_1} =  - 1;\,\,{x_2} =  - 5.\)

Vậy phương trình có nghiệm là \({x_1} =  - 1;\,\,{x_2} =  - 5.\)

2) Xét phương trình \({x^2} - x + 4m + 2 = 0\)

Phương trình trên có \(\Delta  = {\left( { - 1} \right)^2} - 4 \cdot \left( {4m + 2} \right) = 1 - 16m - 8 =  - 16m - 7.\)

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì \(\Delta  > 0,\) tức là \( - 16m - 7 > 0,\) suy ra \(m < \frac{{ - 7}}{{16}}.\)

Theo định lí Viète, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\{x_1}{x_2} = 4m + 2\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Theo bài, \({x_1}^2 - 4{x_1}{x_2} + 3{x_2}^2 = 5\left( {{x_1} - {x_2}} \right)\)

\({x_1}^2 - {x_1}{x_2} - 3{x_1}{x_2} + 3{x_2}^2 = 5\left( {{x_1} - {x_2}} \right)\)

\({x_1}\left( {{x_1} - {x_2}} \right) - 3{x_2}\left( {{x_1} - {x_2}} \right) - 5\left( {{x_1} - {x_2}} \right) = 0\)

\(\left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left( {{x_1} - 3{x_2} - 5} \right) = 0\)

 \({x_1} = {x_2}\) (loại do \({x_1} \ne {x_2})\) hoặc \({x_1} - 3{x_2} = 5.\)

Từ \({x_1} - 3{x_2} = 5,\) suy ra \({x_1} = 3{x_2} + 5,\) thay vào \(\left( 1 \right),\) ta được:

\(3{x_2} + 5 + {x_2} = 1,\) suy ra \(4{x_2} =  - 4,\) nên \({x_2} =  - 1.\)

Thay \({x_2} =  - 1\) vào \({x_1} = 3{x_2} + 5,\) ta được: \[{x_1} = 3 \cdot \left( { - 1} \right) + 5 = 2.\]

Thay \({x_1} = 2,\,\,{x_2} =  - 1\) vào \(\left( 2 \right),\) ta được:

\(2 \cdot \left( { - 1} \right) = 4m + 2,\) suy ra \(m =  - 1\) (thỏa mãn điều kiện).

Vậy \(m =  - 1\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

 

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

Cho tam giác ABC cân tại A Gọi O là trung điểm của cạnh BC Đường tròn O tiếp xúc với AB tại E tiếp xúc với AC tại  (ảnh 1)

Do đó \(\widehat {IOK} = \widehat {IOH} + \widehat {HOK} = \frac{1}{2}\left( {\widehat {EOH} + \widehat {HOF}} \right) = \frac{1}{2}\widehat {EOF}.\,\,\,\left( 1 \right)\)

Do \[AEOF\] là tứ giác nội tiếp nên \(\widehat {EAF} + \widehat {EOF} = 180^\circ ,\) suy ra \(\widehat {EAF} = 180^\circ  - \widehat {EOF}.\)

Mặt khác, \(\Delta ABC\) cân tại \(A\) nên \(\widehat {ACB} = \frac{{180^\circ  - \widehat {BAC}}}{2} = \frac{{180^\circ  - \left( {180^\circ  - \widehat {EOF}} \right)}}{2} = \frac{1}{2}\widehat {EOF}.\,\,\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) suy ra \[\widehat {ACB} = \widehat {IOK}.\]

Ta có: \(\widehat {IOK} + \widehat {IOB} + \widehat {KOC} = 180^\circ ;\)

 \(\widehat {ACB} + \widehat {CKO} + \widehat {KOC} = 180^\circ \)

Suy ra \[\widehat {IOB} = \widehat {CKO}.\] Kết hợp \(\widehat {OBI} = \widehat {OCK}\) ta chứng minh được  (g.g).

3) Vì \(O\) là trung điểm của \(BC\) nên \(OB = OC = \frac{{BC}}{2} = \frac{6}{2} = 3{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\)

Vì \(\Delta ABC\) cân tại \(A\) nên đường trung tuyến \(AO\) đồng thời là đường cao và đường phân giác của tam giác.

Xét \(\Delta ABO\) vuông tại \(O,\) ta có \(A{B^2} = A{O^2} + B{O^2}\) (định lí Pythagore)

Suy ra \(AO = \sqrt {A{B^2} - O{B^2}}  = \sqrt {{5^2} - {3^2}}  = \sqrt {16}  = 4{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\)

Xét \(\Delta OBE\) và \(\Delta ABO\) có: \(\widehat {ABO}\) là góc chung và \(\widehat {BEO} = \widehat {BOA} = 90^\circ .\)

Do đó  (g.g), suy ra \(\frac{{OB}}{{AB}} = \frac{{BE}}{{BO}} = \frac{{OE}}{{AO}}\)

Nên \(O{B^2} = AB \cdot BE\) và \(OE \cdot AB = OB \cdot OA.\)

Từ đó, ta có \(BE = \frac{{O{B^2}}}{{AB}} = \frac{{{3^2}}}{5} = 1,8{\rm{\;(cm)}}\) và \(OE = \frac{{OB \cdot OA}}{{AB}} = \frac{{3 \cdot 4}}{5} = 2,4{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\)

Theo câu 2,  suy ra \(\frac{{OB}}{{KC}} = \frac{{BI}}{{CO}}\) hay \(KC \cdot BI = OB \cdot OC = O{B^2}.\)

Ta có: \({S_{AIK}} = {S_{ABC}} - {S_{BIKC}}\) nên \({S_{AIK}}\) lớn nhất khi \({S_{BIKC}}\) nhỏ nhất.

Gọi \(R\) là bán kính đường tròn \(\left( O \right).\) Khi đó \(R = OE = 2,4{\rm{\;cm}}.\)

Ta có: \({S_{BIKC}} = {S_{BOI}} + {S_{IOK}} + {S_{KOC}} = \frac{1}{2}\left( {OE \cdot BI + OH \cdot IK + OF \cdot KC} \right)\)

 \( = \frac{1}{2}R \cdot \left( {BI + IK + KC} \right)\)\( = \frac{1}{2}R\left( {BI + IH + HK + KC} \right)\)

 \( = \frac{1}{2}R\left( {BI + CK + IE + KF} \right)\)\( = \frac{1}{2}R\left( {2BI + 2CK - BE - CF} \right)\)

 \( = \frac{1}{2}R\left( {2BI + 2CK - 2BE} \right)\)\( = R\left( {BI + CK - BE} \right)\)

 \( \le R \cdot \left( {2\sqrt {BI \cdot CK}  - BE} \right) = R \cdot \left( {2\sqrt {O{B^2}}  - BE} \right) = R \cdot \left( {2OB - BE} \right)\)

\( = 2,4 \cdot \left( {2 \cdot 3 - 1,8} \right) = 10,08{\rm{\;(c}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}\)

Lại có \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}AO \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 6 = 12{\rm{\;(c}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}\)

Do đó \({S_{AIK}} \le 12 - 10,08 = 1,92{\rm{\;(c}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}\)

Dấu “=” xảy ra khi \[BI = CK\] hay \[AI = AK,\] tức là \(\Delta AIK\) cân tại \(A\) nên đường phân giác \(AO\) của tam giác này đồng thời là đường cao, tức \(AO \bot IK,\) mà \(OH \bot IK\) nên \(OH\) trùng \(OA,\) hay \(H\) là điểm chính giữa cung \[EF.\]

Vậy giá trị lớn nhất của diện tích tam giác \[AIK\] bằng \(1,92\) cm2 khi \(H\) là điểm chính giữa cung \[EF.\]

 

Lời giải

1) Để \[\left( d \right)\,{\rm{//}}\,\left( {d'} \right)\] thì \(\left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 3 = 6\\m \ne 3\end{array} \right.\) hay\(\left\{ \begin{array}{l}{m^2} = 9\\m \ne 3\end{array} \right.\) suy ra \(m =  - 3.\)

Vậy với \(m =  - 3\) thì hai đường thẳng đã cho song song với nhau.

2) Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + 5y =  - 7\\x - 4y = 11.\end{array} \right.\)

Trừ từng vế hai phương trình thứ nhất và thứ hai của hệ phương trình, ta được:

\(9y =  - 18,\) suy ra \(y =  - 2.\)

Thay \(y =  - 2\) vào phương trình \(x + 5y =  - 7,\) ta được:

\(x + 5 \cdot \left( { - 2} \right) =  - 7,\) suy ra \(x = 3.\)

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là \[\left( {x;{\rm{ }}y} \right) = \left( {3;\,\, - 2} \right).\]