Ôn thi Cấp tốc 789+ vào 10 môn Toán khu vực Thanh Hóa 2024 - 2025 (Đề 18)

1) Với $x > 0,\,\,x \ne 1$ ta có:

$P = \frac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  - 1}} + \frac{{2\sqrt x  + 1}}{{x - \sqrt x }} + \frac{1}{{\sqrt x }}$

$= \frac{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\sqrt x }} + \frac{{2\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 1} \right)}} + \frac{{\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 1} \right)}}$

$= \frac{{x + \sqrt x  + 2\sqrt x  + 1 + \sqrt x  - 1}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\sqrt x }}$$= \frac{{x + 4\sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 1} \right)}}$

$= \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 4} \right)}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 1} \right)}} = \frac{{\sqrt x  + 4}}{{\sqrt x  - 1}}.$

Vậy với $x > 0,\,\,x \ne 1$ thì $P = \frac{{\sqrt x  + 4}}{{\sqrt x  - 1}}.$

2) Với $x > 0,\,\,x \ne 1$ ta có: $P < 0$ tức là $\frac{{\sqrt x  + 4}}{{\sqrt x  - 1}} < 0$ suy ra $\sqrt x  - 1 < 0$ (vì $\sqrt x  + 4 > 0)$

Do đó $\sqrt x  < 1$ hay $x < 1.$

Kết hợp với điều kiện $x > 0,\,\,x \ne 1$ ta có $0 < x < 1.$