Câu hỏi:

29/08/2024 239

Cho các số thực dương \[a,{\rm{ }}b,{\rm{ }}c\] thỏa mãn \[abc = 1.\] Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

\(P = \frac{{{a^4}\left( {{b^2} + {c^2}} \right)}}{{{b^3} + 2{c^3}}} + \frac{{{b^4}\left( {{c^2} + {a^2}} \right)}}{{{c^3} + 2{a^3}}} + \frac{{{c^4}\left( {{a^2} + {b^2}} \right)}}{{{a^3} + 2{b^3}}}.\)

Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).

Tổng ôn toán Tổng ôn lý Các môn khác

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho các số thực dương \[a,{\rm{ }}b,{\rm{ }}c\] và \[abc = 1,\] ta có:

          \({a^4}\left( {{b^2} + {c^2}} \right) = {a^2}\left( {{a^2}{b^2} + {a^2}{c^2}} \right) \ge {a^2} \cdot 2\sqrt {{a^4}{b^2}{c^2}}  = 2{a^3}.\)

Chứng minh tương tự, ta được \({b^4}\left( {{c^2} + {a^2}} \right) \ge 2{b^3};\,\,\,{c^4}\left( {{a^2} + {b^2}} \right) \ge 2{c^3}.\)

Khi đó ta được:

          \(P = \frac{{{a^4}\left( {{b^2} + {c^2}} \right)}}{{{b^3} + 2{c^3}}} + \frac{{{b^4}\left( {{c^2} + {a^2}} \right)}}{{{c^3} + 2{a^3}}} + \frac{{{c^4}\left( {{a^2} + {b^2}} \right)}}{{{a^3} + 2{b^3}}}\)\( \ge \frac{{2{a^3}}}{{{b^3} + 2{c^3}}} + \frac{{2{b^3}}}{{{c^3} + 2{a^3}}} + \frac{{2{c^3}}}{{{a^3} + 2{b^3}}}\)

Đặt \(M = \frac{{2{a^3}}}{{{b^3} + 2{c^3}}} + \frac{{2{b^3}}}{{{c^3} + 2{a^3}}} + \frac{{2{c^3}}}{{{a^3} + 2{b^3}}}\) và \(\left\{ \begin{array}{l}x = {b^3} + 2{c^3}\\y = {c^3} + 2{a^3}\\z = {a^3} + 2{b^3}.\end{array} \right.\)

Khi đó ta được \(\left\{ \begin{array}{l}{b^3} = \frac{{x - 2y + 4z}}{9}\\{c^3} = \frac{{y - 2z + 4x}}{9}\\{a^3} = \frac{{z - 2x + 4y}}{9}\end{array} \right.\)

Suy ra \(M = \frac{{2\left( {z - 2x + 4y} \right)}}{{9x}} + \frac{{2\left( {x - 2y + 4z} \right)}}{{9y}} + \frac{{2\left( {y - 2z + 4x} \right)}}{{9z}}\)

\( = \frac{2}{9}\left[ {\left( {\frac{z}{x} + \frac{x}{y} + \frac{y}{z}} \right) + 4\left( {\frac{y}{x} + \frac{z}{y} + \frac{x}{z}} \right) - 6} \right]\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy với 3 số dương ta có:

                    \(\frac{z}{x} + \frac{x}{y} + \frac{y}{z} \ge 3 \cdot \sqrt[3]{{\frac{z}{x} \cdot \frac{x}{y} \cdot \frac{y}{z}}} = 3;\)

                    \(\frac{y}{x} + \frac{z}{y} + \frac{x}{z} \ge 3 \cdot \sqrt[3]{{\frac{y}{x} \cdot \frac{z}{y} \cdot \frac{x}{z}}} = 3.\)

Khi đó ta được: \(P \ge M = \frac{2}{9}\left[ {\left( {\frac{z}{x} + \frac{x}{y} + \frac{y}{z}} \right) + 4\left( {\frac{y}{x} + \frac{z}{y} + \frac{x}{z}} \right) - 6} \right] \ge \frac{2}{9}\left( {3 + 4 \cdot 3 - 6} \right) = 2.\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \[a = b = c = 1.\]

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P\) là \[2\] khi \[a = b = c = 1.\]

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Cho tam giác \[ABC\] cân tại \[A.\] Gọi \[O\] là trung điểm của cạnh \[BC.\] Đường tròn \[\left( O \right)\] tiếp xúc với \[AB\] tại \[E,\] tiếp xúc với \[AC\] tại \[F.\] Điểm \[H\] di động trên cung nhỏ  của đường tròn \[\left( O \right);\] tiếp tuyến của đường tròn \[\left( O \right)\] tại \[H\] cắt \[AB,{\rm{ }}AC\] lần lượt tại \[I,{\rm{ }}K.\]

1) Chứng minh \[AEOF\] là tứ giác nội tiếp.

2) Chứng minh \(\widehat {IOK} = \widehat {ABC}\) và hai tam giác \[OIB,\,\,KOC\] đồng dạng.

3) Giả sử \[AB = 5\] cm, \[BC = 6\] cm. Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác \[AIK.\]

Xem đáp án » 29/08/2024 172

Câu 2:

1) Trong mặt phẳng tọa độ \[Oxy,\] cho hai đường thẳng \(\left( d \right):y = \left( {{m^2} - 3} \right)x + 3\) và \(\left( {d'} \right):y = 6x + m.\) Tìm tất cả các giá trị của \[m\] để hai đường thẳng trên song song với nhau.

2) Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + 5y =  - 7\\x - 4y = 11.\end{array} \right.\)

Xem đáp án » 29/08/2024 146

Câu 3:

1) Giải phương trình \({x^2} + 6x + 5 = 0.\)

2) Cho phương trình \({x^2} - x + 4m + 2 = 0\) \[(m\] là tham số). Tìm các giá trị của \[m\] để phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\) thỏa mãn hệ thức \({x_1}^2 - 4{x_1}{x_2} + 3{x_2}^2 = 5\left( {{x_1} - {x_2}} \right).\)
 

Xem đáp án » 29/08/2024 75

Câu 4:

Cho biểu thức \(P = \frac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  - 1}} + \frac{{2\sqrt x  + 1}}{{x - \sqrt x }} + \frac{1}{{\sqrt x }}\) với \(x > 0,x \ne 1.\)

1) Rút gọn biểu thức \(P.\)

2) Tìm tất cả các giá trị của \(x\) để \(P < 0.\)

Xem đáp án » 29/08/2024 50

Bình luận


Bình luận
Đăng ký gói thi VIP

VIP 1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

  • Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
  • Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
  • Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
  • Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP 2 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

  • Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
  • Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
  • Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
  • Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP 3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

  • Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
  • Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
  • Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
  • Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP 4 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

  • Siêu tiết kiệm - Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
  • Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
  • Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
  • Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

tailieugiaovien.com.vn