Cho parabol \(\left( P \right):y = \frac{1}{2}{x^2}\) và đường thẳng \(\left( a \right):y =  - mx + 3\) (với \(m\) là tham số).

1) Vẽ parabol \(\left( P \right)\).

2) Tìm tất cả giá trị của tham số \(m\) để \(\left( d \right)\) thỏa mãn cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt có hoành độ \[{x_1},\,\,{x_2}\] thỏa mãn \({x_1}\left( {x_2^2 - 6} \right) = 24\).

1) Gọi số học sinh dự kiến là \(x\) (học sinh). Điều kiện \(x \in \mathbb{N}*,\,\,x > 2.\)

Dự kiến mỗi học sinh chuyển số phần quà là: \(\frac{{120}}{x}\) (phần quà).

Thực tế số học sinh là: \(x - 2\) (học sinh).

Thực tế mỗi học sinh chuyển số phần quà là: \(\frac{{120}}{{x - 2}}\) (phần quà).

Vì thực tế mỗi học sinh phải chuyển nhiều hơn so với dự kiến 2 phần quà nên ta có phương trình \(\frac{{120}}{x} + 2 = \frac{{120}}{{x - 2}}\)

\[120\left( {x - 2} \right) + 2x\left( {x - 2} \right) = 120x\]

\[120x - 240 + 2{x^2} - 4x = 120x\]

\[{x^2} - 2x - 120 = 0\]

\(x = 12\) (thỏa mãn điều kiện) hoặc \(x =  - 10\) (không thỏa mãn điều kiện).

Vậy dự kiến có 12 học sinh.

2) Ta có \(\sqrt {x + 4}  + \sqrt {1 - 2x}  = 3\) (điều kiện \( - 4 \le x \le \frac{1}{2}\,).\)

\(x + 4 + 1 - 2x + 2\sqrt {\left( {x + 4} \right)\left( {1 - 2x} \right)}  = 9\)

\(2\sqrt {\left( {x + 4} \right)\left( {1 - 2x} \right)}  - \left( {x + 4} \right) = 0\)

\(\sqrt {x + 4} \left( {2\sqrt {1 - 2x}  - \sqrt {x + 4} } \right) = 0\)

\(\sqrt {x + 4}  = 0\) hoặc \(2\sqrt {1 - 2x}  = \sqrt {x + 4} \)

\(x + 4 = 0\) hoặc \(4\left( {1 - 2x} \right) = x + 4\)

\(x =  - 4\) hoặc \(4 - 8x = x + 4\)

\(x =  - 4\) (thỏa mãn) hoặc \(x = 0\) (thỏa mãn).

Vậy phương trình đã cho có nghiệm \(x =  - 4\) và \(x = 0\).