Câu hỏi:
29/08/2024 107Từ điểm \(P\) nằm ngoài đường tròn \(\left( O \right),\) kẻ hai tiếp tuyến \[PA,{\rm{ }}PB\] của đường tròn \((A,\,\,B\) là hai tiếp điểm). Gọi \(H\) là giao điểm của \[PO\] và \[AB.\]
1) Chứng minh tứ giác \[PAOB\] nội tiếp.
2) Chứng minh \(P{A^2} = PH \cdot PO.\)
3) Điểm \(N\) trên cung lớn \[AB\] của đường tròn \(\left( O \right)\) sao cho tam giác \[NAB\] nhọn và \(NA > NB.\) Đường thẳng \[PN\] cắt \(\left( O \right)\) tại điểm \(M\) khác \(N.\) Chứng minh \(\widehat {OMN} = \widehat {OHN}\).
4) Đường thẳng qua \(N\) song song với \[PO\] cá́t đường thẳng \[AO\] tại \(K\). Gọi \(I\) là trung điểm của \[MN.\] Chúng minh đường thẳng \[KI\] vuông góc với đường thẳng \[AM.\]
Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
1) Do \[PA,{\rm{ }}PB\] là tiếp tuyến nên \(\widehat {OAP} = \widehat {OBP} = 90^\circ .\)
Xét tứ giác \[PAOB\] có
\(\widehat {OAP} + \widehat {OBP} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \).
Mà \(\widehat {OAP},\,\,\widehat {OBP}\) ở vị trí đối diện nên tứ giác \[PAOB\] nội tiếp.
2) Ta có \(PA = PB\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau), \(OA = OB = R\) nên \(PO\) là trung trực của \[AB.\]
Suy ra \(PO \bot AB\) tại \(H\) là trung điểm của \[AB.\]
Xét \(\Delta PAH\) và \(\Delta PAH\)\(\Delta POA\) có \[\widehat {PHA} = \widehat {PAO} = 90^\circ ;\] \(\widehat {APH}\) chung.
Do đó .
Suy ra \[\frac{{PA}}{{PH}} = \frac{{PO}}{{PA}}\] hay \(P{A^2} = PH \cdot PO\) (đpcm).
3) Xét \(\Delta PBM\) và \(\Delta PNB\) có \(\widehat {BPM}\) chung và
Do đó suy ra \[\frac{{PB}}{{PN}} = \frac{{PM}}{{PB}}\] hay \[P{B^2} = PM \cdot PN = P{A^2}\].
Mà \(P{A^2} = PH \cdot PO\) nên \(PM \cdot PN = PH \cdot PO\) hay\(\frac{{PM}}{{PO}} = \frac{{PH}}{{PN}}\).
Xét \(\Delta PMH\) và \(\Delta PON\) có \(\widehat {OPN}\) chung; \(\frac{{PM}}{{PO}} = \frac{{PH}}{{PN}}\) (cmt).
Do đó , suy ra \(\widehat {PMH} = \widehat {PON}\) (hai góc tương ứng).
Mặt khác \(\widehat {PMH} + \widehat {NMH} = 180^\circ \) (kề bù) nên \(\widehat {PON} + \widehat {NMH} = 180^\circ \).
Mà \(\widehat {PON},\,\,\widehat {NMH}\) nằm ở vị trí đối diện nên tứ giác \(HMNO\) nội tiếp.
Suy ra \(\widehat {OMN} = \widehat {OHN}\) (cùng chắn cung \[ON\,)\].
4) Kẻ đường kính \[AE\] của \(\left( O \right)\). Do \[I\] là trung điểm của \[MN\] nên \(OI \bot MN.\)
Xét tam giác \(OMN\,\,\left( {OM = ON} \right)\) có \(OI\) là đường trung tuyến (vì \[I\] là trung điểm của \[MN)\]nên \(OI\) cũng là đường cao hay \(OI \bot MN.\)
Suy ra \[\widehat {OIP} + \widehat {OAP} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \].
Mà \[\widehat {OIP},\,\,\widehat {OAP}\] nằm ở trị trí đối diện nên tứ giác \(OIPA\) nội tiếp.
Suy ra \[\widehat {IPO} = \widehat {IAO}\] (cùng chắn cung \[IO\,)\]
Mà \(\widehat {IPO} = \widehat {INK}\) (\[OP\,{\rm{//}}\,NK\], so le trong) nên \(\widehat {IAO} = \widehat {INK}\).
Chứng minh bổ đề: Cho tứ giác \(ABCD\) có \(\widehat {ACB} = \widehat {ADB}.\) Chứng minh tứ giác \(ABCD\) là tứ giác nội tiếp.
• Giả sử \(\Delta ABC\) có đường tròn ngoại tiếp tâm \(O\) và đường kính \(AK\) nên tứ giác \(ABCK\) nội tiếp, suy ra \(\widehat {ACB} = \widehat {AKB}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(AB).\)
Mà \(\widehat {ACB} = \widehat {ADB}\) (giả thiết) nên \(\widehat {ADB} = \widehat {AKB}.\) \(\left( 6 \right)\)
⦁ Gọi \(F\) là giao điểm của \(AK\) và \(BD,\) \(F\) nằm trong đường tròn \(\left( O \right).\)
Xét \(\Delta AFD\) và \(\Delta BFK\) có: \(\widehat {AFD} = \widehat {BFK}\) (đối đỉnh) và \(\widehat {ADF} = \widehat {BKF}\) (chứng minh trên)
Do đó suy ra \(\frac{{AF}}{{BF}} = \frac{{DF}}{{KF}}\) nên \(\frac{{AF}}{{DF}} = \frac{{BF}}{{KF}}.\)
Xét \(\Delta DFK\) và \(\Delta AFB\) có: \(\frac{{AF}}{{DF}} = \frac{{BF}}{{KF}}\) và \[\widehat {DFK} = \widehat {AFB}\] (đối đỉnh)
Do đó suy ra \(\widehat {FDK} = \widehat {FAB}.\,\,\,\left( 7 \right)\)
⦁ Ta có \(\widehat {ABK}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên \(\widehat {ABK} = 90^\circ ,\) do đó \(\Delta ABK\) vuông tại \(B,\) suy ra \(\widehat {FAB} + \widehat {AKB} = 90^\circ .\,\,\,\left( 8 \right)\)
Từ \(\left( 6 \right),\,\,\left( 7 \right),\,\,\left( 8 \right)\) suy ra \(\widehat {ADB} + \widehat {FDK} = 90^\circ \) hay \(\widehat {ADK} = 90^\circ .\)
Khi đó \(\Delta ADK\) vuông tại \(D\) nên điểm \(D\) nằm trên đường tròn đường kính \(AK.\)
Suy ra tứ giác \(ABCD\) nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)\) đường kính \(AK.\)
Áp dụng bổ đề trên cho tứ giác \(IKNA\) có \(\widehat {IAO} = \widehat {INK}\) nên tứ giác \(IKNA\) nội tiếp.
Suy ra \[\widehat {NIK} = \widehat {NAK}\] (cùng chắn cung \[NK\]).
Mà \(\widehat {NAK} = \widehat {NME}\) (cùng chắn cung \[NE\]) nên \[\widehat {NIK} = \widehat {NME}\] suy ra \[IK\,{\rm{//}}\,ME\] (hai góc đồng vị bằng nhau)
Mặt khác \(\widehat {AME} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên \(ME \bot AM.\)
Do đó \(NK \bot AM\) (đpcm).
Nhà sách VIETJACK:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
1) Nhân dịp Quốc tế thiếu nhi, trường trung học cơ sở \(A\) tổ chức đi thăm và trao quà cho các em tại một mái ấm tình thương. Ban tổ chức giao cho một nhóm học sinh chuyến 120 phần quà lên khu vực trao quà. Tuy nhiên, khi thực hiện thì có 2 học sinh được phân công làm việc khác, nên mỗi học sinh còn lại trong nhóm phải chuyển nhiều hơn so với đự kiến 2 phần quà. Tính số học sinh trong nhóm dự kiến lúc đầu.
2) Giải phương trình: \(\sqrt {x + 4} + \sqrt {1 - 2x} = 3\).
Xem đáp án »
29/08/2024
166
Câu 2:
1) Giải phương trình: \({x^2} - 7x + 12 = 0\).
2) Giải hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3x - y = 3}\\{x + 2y = 8}\end{array}} \right.\).
3) Rút gọn biểu thức: \(A = \frac{3}{{2 - \sqrt 3 }} - \sqrt {75} + \frac{{2\sqrt {33} }}{{\sqrt {11} }}\).
1) Giải phương trình: \({x^2} - 7x + 12 = 0\).
2) Giải hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3x - y = 3}\\{x + 2y = 8}\end{array}} \right.\).
3) Rút gọn biểu thức: \(A = \frac{3}{{2 - \sqrt 3 }} - \sqrt {75} + \frac{{2\sqrt {33} }}{{\sqrt {11} }}\).
Xem đáp án »
29/08/2024
49
Câu 3:
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: \(P = x\left( {\sqrt {12 - 3{x^2}} + 1 - {x^2}} \right)\), với \(x\) là số thực thỏa mãn \(0 \le x \le 2\).
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: \(P = x\left( {\sqrt {12 - 3{x^2}} + 1 - {x^2}} \right)\), với \(x\) là số thực thỏa mãn \(0 \le x \le 2\).
Xem đáp án »
29/08/2024
49
Câu 4:
Cho parabol \(\left( P \right):y = \frac{1}{2}{x^2}\) và đường thẳng \(\left( a \right):y = - mx + 3\) (với \(m\) là tham số).
1) Vẽ parabol \(\left( P \right)\).
2) Tìm tất cả giá trị của tham số \(m\) để \(\left( d \right)\) thỏa mãn cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt có hoành độ \[{x_1},\,\,{x_2}\] thỏa mãn \({x_1}\left( {x_2^2 - 6} \right) = 24\).
Cho parabol \(\left( P \right):y = \frac{1}{2}{x^2}\) và đường thẳng \(\left( a \right):y = - mx + 3\) (với \(m\) là tham số).
1) Vẽ parabol \(\left( P \right)\).
2) Tìm tất cả giá trị của tham số \(m\) để \(\left( d \right)\) thỏa mãn cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt có hoành độ \[{x_1},\,\,{x_2}\] thỏa mãn \({x_1}\left( {x_2^2 - 6} \right) = 24\).
Xem đáp án »
29/08/2024
41
về câu hỏi!