Giải các phương trình sau:

a) \(\frac{x}{{x - 5}} - \frac{2}{{x + 5}} = \frac{{{x^2}}}{{{x^2} - 25}};\)

b) \(\frac{1}{{x + 1}} - \frac{x}{{{x^2} - x + 1}} = \frac{3}{{{x^3} + 1}}.\)

a) ĐKXĐ: x – 5 ≠ 0 và x + 5 ≠ 0 hay x ≠ 5 và x ≠ −5.

Quy đồng mẫu hai vế của phương trình, ta được

\(\frac{{x\left( {x + 5} \right)}}{{\left( {x - 5} \right)\left( {x + 5} \right)}} - \frac{{2\left( {x - 5} \right)}}{{\left( {x - 5} \right)\left( {x + 5} \right)}} = \frac{{{x^2}}}{{\left( {x - 5} \right)\left( {x + 5} \right)}}\)

\(\frac{{{x^2} + 5x - 2x + 10}}{{\left( {x - 5} \right)\left( {x + 5} \right)}} = \frac{{{x^2}}}{{\left( {x - 5} \right)\left( {x + 5} \right)}}\)

\(\frac{{{x^2} + 3x + 10}}{{\left( {x - 5} \right)\left( {x + 5} \right)}} = \frac{{{x^2}}}{{\left( {x - 5} \right)\left( {x + 5} \right)}}.\)

Suy ra x² + 3x + 10 = x² hay 3x + 10 = 0, suy ra \(x = - \frac{{10}}{3}\) (thỏa mãn ĐKXĐ).

Vậy phương trình có nghiệm là \(x = - \frac{{10}}{3}.\)

b) ĐKXĐ: x + 1 ≠ 0 hay x ≠ −1.

Quy đồng mẫu hai vế của phương trình, ta được

\[\frac{{{x^2} - x + 1}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right)}} - \frac{{x\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right)}} = \frac{3}{{\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right)}}\]

\[\frac{{{x^2} - x + 1 - {x^2} - x}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right)}} = \frac{3}{{\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right)}}\]

\[\frac{{1 - 2x}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right)}} = \frac{3}{{\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right)}}.\]

Suy ra 1 – 2x = 3 hay 2x = −2, suy ra x = −1 (không thỏa mãn ĐKXĐ).

Vậy phương trình vô nghiệm.