Câu hỏi:

13/09/2024 1,220

Cho tam giác nhọn ABC $(\hat{B} > \hat{C})$ phân giác AM. Gọi O, O₁, O₂ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABC, AMB, AMC. Chứng minh rằng:

a) OO₁, OO₂, O₁O₂ lần lượt là các đường trung trực của AB, AC, AM;

b) Tam giác OO₁O₂ cân.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Giải SBT Toán 9 Cánh diều Bài 1. Đường tròn ngoại tiếp tam giác. Đường tròn nội tiếp tam giác !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Cho tam giác nhọn ABC (^B>^C) phân giác AM. Gọi O, O1, O2 lần lượt là tâm đường tròn ngoại (ảnh 1)

a) Do O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên OA = OB; O₁ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AMB nên O₁A = O₁B.

Suy ra OO₁ là đường trung trực của AB.

Tương tự OO₂, O₁O₂ lần lượt là đường trung trực của AC, AM.

b) Gọi P, Q, R lần lượt là trung điểm của AC, AM, AB; N là giao điểm của QO₂ và AC.

Khi đó O₁Q ⊥ AM, O₁R ⊥ AB nên $\hat{A Q O_{1}} = \hat{A R O_{1}} = 90 °$

Tam giác AQO₁ vuông tại Q nên nội tiếp đường tròn đường kính AO₁.

Tam giác ARO₁ vuông tại R nên nội tiếp đường tròn đường kính AO₁.

Do đó tứ giác AQO₁R nội tiếp đường tròn đường kính AO₁.

Suy ra $\hat{R A Q} + \hat{R O_{1} Q} = 180 °$ (tổng hai góc đối nhau của tứ giác nội tiếp bằng 180°).

Nên $\hat{R A Q} = 180 ° - \hat{R O_{1} Q}$ .

Mà $\hat{R O_{1} Q} + \hat{Q O_{1} O} = 180 °$ (hai góc kề bù) suy ra $\hat{Q O_{1} O} = 180 ° - \hat{R O_{1} Q}$ .

Do đó $\hat{Q O_{1} O} = \hat{R A Q} (= 180 ° - \hat{R O_{1} Q})$ (1)

Mặt khác, $\hat{O_{2} N P} = \hat{A N Q}$ (đối đỉnh) nên $90 ° - \hat{O_{2} N P} = 90 ° - \hat{A N Q}$ .

Hay $\hat{N O_{2} P} = \hat{Q A N}$ . (2)

Do AM là phân giác của $\hat{B A C}$ nên $\hat{B A M} = \hat{M A C}$ hay $\hat{R A Q} = \hat{Q A N}$ . (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra $\hat{Q O_{1} O} = \hat{N O_{2} P}$ hay $\hat{O_{2} O_{1} O} = \hat{O_{1} O_{2} O}$ .

Do đó, tam giác OO₁O₂ cân tại O.

Hot: 500+ Đề thi vào 10 file word các Sở Hà Nội, TP Hồ Chí Minh có đáp án 2025 (chỉ từ 100k). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B. Đường thẳng AO cắt (O) và (O’) lần lượt tại hai điểm C, E (khác điểm A). Đường thẳng AO’ cắt (O) và (O’) lần lượt tại hai điểm D, F (khác điểm A). Chứng minh:

a) C, B, F thẳng hàng;

b) Bốn điểm C, D, E, F cùng nằm trên một đường tròn;

c) A là tâm đường tròn nội tiếp tam giác BDE.

Xem đáp án

Lời giải

Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B. Đường thẳng AO cắt (O) và (O’) lần lượt (ảnh 1)

a) Xét đường tròn (O) có AC là đường kính nên $\hat{A B C} = 90 °$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)).

Xét đường tròn (O’) có AF là đường kính nên $\hat{A B F} = 90 °$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O’)).

Do đó $\hat{A B C} + \hat{A B F} = 90 ° + 90 ° = 180 °$ hay $\hat{C B F} = 180 °$ .

Suy ra C, B, F thẳng hàng.

b) Xét đường tròn (O) có AC là đường kính nên $\hat{A D C} = 90 °$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)).

Xét đường tròn (O’) có AF là đường kính nên $\hat{A E F} = 90 °$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O’)).

Do đó $\hat{F D C} = \hat{C E F} = 90 °$ nên hai điểm D, E nằm trên đường tròn đường kính CF.

Vậy bốn điểm C, D, E, F cùng nằm trên một đường tròn đường kính CF.

c) Ta có $\hat{D C A} = \hat{D B A}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung DA của đường tròn (O)).

Tương tự $\hat{A B E} = \hat{A F E}$ và $\hat{D C E} = \hat{D F E}$ .

Suy ra $\hat{A B E} = \hat{D B A}$ do đó BA là phân giác của góc DBE.

Tương tự, DA là phân giác của góc BDE.

Suy ra A là tâm đường tròn nội tiếp tam giác BDE.

Câu 2

Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 6, AC = 8, bán kính đường tròn nội tiếp là r, bán kính đường tròn ngoại tiếp là R. Tính $\frac{r}{R}$

Xem đáp án

Lời giải

Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 6, AC = 8, bán kính đường tròn nội tiếp là r, bán kính đường tròn ngoại tiếp (ảnh 1)

Tam giác ABC vuông tại A, theo định lí Pythagore, ta có:

BC² = AB² + AC² = 6² + 8² = 100.

Suy ra $B C = \sqrt{100} = 10$

Do đó bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là $R = \frac{B C}{2} = \frac{10}{2} = 5$ .

Lại có $r = \frac{A B + A C - B C}{2}$ (theo kết quả của Ví dụ 4, trang 83, SBT Toán 9, Tập một)

Suy ra $r = \frac{A B + A C - B C}{2}$ $= \frac{6 + 8 - 10}{2} = \frac{4}{2} = 2$ .

Do đó $\frac{r}{R} = \frac{2}{5}$ .

Câu 3

Tìm phát biểu đúng trong các phát biểu sau:

a) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao điểm ba đường phân giác của tam giác đó.

b) Tâm đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác đó.

c) Đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông có tâm là trung điểm của cạnh huyền.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Cho tam giác ABC cân tại A, có O, I lần lượt là tâm các đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

a) Chứng minh rằng:

– Ba điểm A, O, I cùng thuộc một đường thẳng;

– Đường thẳng OA vuông góc với BC và đi qua điểm chính giữa D (khác điểm A) của cung BC.

b) Cho BC = 24 cm, AC = 20 cm. Tính độ dài bán kính R của đường tròn ngoại tiếp và bán kính r của đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Trên đường tròn (O) bán kính R, lấy các điểm A, B, C, D sao cho $s đ \overset{⏜}{A B} = 60 °, s đ \overset{⏜}{B C} = 90 °, s đ \overset{⏜}{C D} = 120 °$ (Hình 7).

a) Xác định tâm và tính theo R bán kính đường tròn ngoại tiếp của các tam giác OAB, OBC, OAD, ODC.

b) Gọi I là giao điểm của AC và BD. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp của các tam giác IAB, IBC, IAD, IDC.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Cho tam giác nhọn ABC. Các đường cao BE, CD của tam giác ABC cắt nhau tại K. Tìm tâm đường tròn ngoại tiếp mỗi tam giác sau:

a) Tam giác BDE;

b) Tam giác DEC;

c) Tam giác ADE.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn tâm O, bán kính R.

a) Chứng minh rằng O cũng là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

b) Vẽ tam giác IJK ngoại tiếp đường tròn (O; R) với JK // BC, IJ // AC, IK // AB. Chứng minh tam giác IJK đều.

c) Gọi R’ là bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác IJK và r là bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Tính $\frac{r}{R'}$

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Hỏi bài tập

Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

Cho tam giác nhọn ABC B^>C^ phân giác AM. Gọi O, O1, O2 lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABC, AMB, AMC. Chứng minh rằng: a) OO1, OO2, O1O2 lần lượt là các đường trung trực của AB, AC, AM; b) Tam giác OO1O2 cân.

Bình luận

Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 6, AC = 8, bán kính đường tròn nội tiếp là r, bán kính đường tròn ngoại tiếp là R. Tính rR

Trên đường tròn (O) bán kính R, lấy các điểm A, B, C, D sao cho sđAB⏜=60°, sđBC⏜=90°, sđCD⏜=120° (Hình 7). a) Xác định tâm và tính theo R bán kính đường tròn ngoại tiếp của các tam giác OAB, OBC, OAD, ODC.

Cho tam giác nhọn ABC. Các đường cao BE, CD của tam giác ABC cắt nhau tại K. Tìm tâm đường tròn ngoại tiếp mỗi tam giác sau: a) Tam giác BDE; b) Tam giác DEC; c) Tam giác ADE.

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 6, AC = 8, bán kính đường tròn nội tiếp là r, bán kính đường tròn ngoại tiếp là R. Tính $\frac{r}{R}$

Cho tam giác nhọn ABC. Các đường cao BE, CD của tam giác ABC cắt nhau tại K. Tìm tâm đường tròn ngoại tiếp mỗi tam giác sau:

a) Tam giác BDE;

b) Tam giác DEC;

c) Tam giác ADE.