Câu hỏi:

13/09/2024 1,465

Cho tam giác ABC vuông cân tại C và nội tiếp đường tròn (O; R). E là điểm tùy ý trên cung nhỏ AC của đường tròn đó. Gọi F là giao điểm của EB và CO, I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ECF. Chứng minh rằng khi E di chuyển trên cung nhỏ AC thì I luôn di chuyển trên một đoạn thẳng cố định.

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack
Cho tam giác ABC vuông cân tại C và nội tiếp đường tròn (O; R). E là điểm tùy ý trên cung nhỏ AC của đường (ảnh 1)

Vì ∆ABC vuông cân tại C nên CAB^=45°.

Ta có CEB^=CAB^=45° (hai góc nội tiếp cùng chắn cung CB của đường tròn (O)).

Mặt khác, I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ECF, do đó CIF^, CEF^ lần lượt là góc ở tâm và góc nội tiếp chắn cung CF của đường tròn (I), suy ra CIF^=2·CEF^=2·45°=90°.

Mà IC = IF suy ra tam giác ICF vuông cân tại I, do đó ICF^=45° (1)

Vì ∆ABC vuông cân tại C nên ACB^=90° do đó AB là đường kính của đường tròn (O; R), khi đó CO là đường trung tuyến đồng thời là đường phân giác của tam giác.

Suy ra  ACO^=12ACB^=12·90°=45°. (2)

Từ (1) và (2) suy ra điểm I nằm trên AC.

Vậy khi E di chuyển trên cung nhỏ AC thì I di chuyển trên đoạn thẳng AC cố định.

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B. Đường thẳng AO cắt (O) và (O’) lần lượt (ảnh 1)

a) Xét đường tròn (O) có AC là đường kính nên ABC^=90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)).

Xét đường tròn (O’) có AF là đường kính nên ABF^=90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O’)).

Do đó ABC^+ABF^=90°+90°=180° hay CBF^=180°.

Suy ra C, B, F thẳng hàng.

b) Xét đường tròn (O) có AC là đường kính nên ADC^=90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)).

Xét đường tròn (O’) có AF là đường kính nên AEF^=90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O’)).

Do đó FDC^=CEF^=90° nên hai điểm D, E nằm trên đường tròn đường kính CF.

Vậy bốn điểm C, D, E, F cùng nằm trên một đường tròn đường kính CF.

c) Ta có DCA^=DBA^ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung DA của đường tròn (O)).

Tương tự ABE^=AFE^ DCE^=DFE^. 

Suy ra ABE^=DBA^ do đó BA là phân giác của góc DBE.

Tương tự, DA là phân giác của góc BDE.

Suy ra A là tâm đường tròn nội tiếp tam giác BDE.

Câu 2

Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 6, AC = 8, bán kính đường tròn nội tiếp là r, bán kính đường tròn ngoại tiếp là R. Tính rR

Lời giải

Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 6, AC = 8, bán kính đường tròn nội tiếp là r, bán kính đường tròn ngoại tiếp (ảnh 1)

Tam giác ABC vuông tại A, theo định lí Pythagore, ta có:

BC2 = AB2 + AC2 = 62 + 82 = 100.

Suy ra BC=100=10

Do đó bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là R=BC2=102=5.

Lại có r=AB+AC-BC2 (theo kết quả của Ví dụ 4, trang 83, SBT Toán 9, Tập một)

Suy ra r=AB+AC-BC2=6+8-102=42=2.

Do đó rR=25.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn tâm O, bán kính R.

a) Chứng minh rằng O cũng là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

b) Vẽ tam giác IJK ngoại tiếp đường tròn (O; R) với JK // BC, IJ // AC, IK // AB. Chứng minh tam giác IJK đều.

c) Gọi R’ là bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác IJK và r là bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Tính rR'

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP