Câu hỏi:

13/09/2024 459

Đường tròn tâm I nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với AB, AC lần lượt tại F và E. Kẻ CK vuông góc với BI. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC, AC. Chứng minh:

a) F, E, K thẳng hàng;

b) K, N, M thẳng hàng.

Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).

Tổng ôn toán Tổng ôn lý Các môn khác

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack
Đường tròn tâm I nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với AB, AC lần lượt tại F và E. Kẻ CK vuông góc với (ảnh 1)

a) Gọi J là trung điểm của IC.

Vì đường tròn (I) tiếp xúc với AC tại E nên IE AC tại E. Do đó IEC^=90° nên điểm E thuộc đường tròn tâm J, đường kính IC.

Vì CK BI tại K nên BKC^=90° hay IKC^=90° nên điểm K thuộc đường tròn tâm J, đường kính IC.

Do đó bốn điểm I, E, K, C cùng thuộc đường tròn tâm J, đường kính IC.

Như vậy, tứ giác IEKC nội tiếp đường tròn.

Suy ra KEC^=KIC^ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung KC). (3)

Vì đường tròn (I) là đường tròn nội tiếp tam giác ABC nên AI, BI, CI là các đường phân giác của tam giác ABC.

Gọi P là giao điểm của AI và EF.

Do AI là tia phân giác của góc BAC nên PAE^=12BAC^.

Do BI là tia phân giác của góc ABC nên IBC^=12ABC^.

Do CI là tia phân giác của góc ACB nên ICB^=12ACB^.

Vì đường tròn (I) tiếp xúc với AB, AC lần lượt tại F và E hay AE, AF là hai tiếp tuyến của đường tròn (I), do đó IE = IF và AE = AF.

Suy ra AI là đường trung trực của đoạn thẳng EF nên AI EF tại P.

Xét ∆APE có APE^+PAE^+AEP^=180°

Suy ra AEP^=180°-APE^-PAE^=180°-90°-12BAC^=90°-12BAC^.

Do đó AEF^=90°-12BAC^. (1)

Xét ∆IBC có  là góc ngoài của tam giác tại đỉnh I nên

KIC^=IBC^+ICB^=12ABC^+12ACB^=ABC^+ACB^2=180°-BAC^2=90°-12BAC^. (2)

Từ (1) và (2), suy ra AEF^=KIC^. (4)

Từ (3) và (4), suy ra AEF^=KEC^.

AEF^+CEF^=180° (hai góc kề bù) nên KEC^+CEF^=180° hay KEF^=180°.

Vậy ba điểm F, E, K thẳng hàng.

b) Xét ∆KBC vuông tại K có KM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC nên KM=12BC.

Mà M là trung điểm của BC nên MB=MC=12BC.

Do đó MB = MK nên ∆MKB cân ở M, suy ra MBK^=MKB^.

Xét ∆MKB có KMC^ là góc ngoài tại đỉnh M nên KMC^=MBK^+MKB^=2MBK^=2·ABC^2=ABC^.

Xét ∆ABC có M, N lần lượt là trung điểm của BC, AC nên MN là đường trung bình của ∆ABC, suy ra MN // AB, do đó NMC^=ABC^ (hai góc đồng vị).

Suy ra KMC^=NMC^ vì vậy ba điểm K, N, M thẳng hàng.

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Cho tứ giác ABCD có C^+D^=90°. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BD, DC, CA. Chứng minh bốn điểm M, N, P, Q cùng thuộc một đường tròn. Tìm tâm đường tròn đó.

Xem đáp án » 13/09/2024 1,601

Câu 2:

Cho tam giác ABC có BC = 10 và BAC^=30°. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Xem đáp án » 13/09/2024 504

Câu 3:

Cho đường tròn (O; R). Từ điểm M nằm ngoài đường tròn (O; R), kẻ các tiếp tuyến MA và MB với đường tròn đó (A, B là các tiếp điểm) sao cho

a) Xác định tâm và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác MAB.

b) Tính chu vi tam giác MAB.

c) Vẽ đường thẳng d đi qua M cắt đường tròn (O) tại hai điểm P, Q. Xác định vị trí của đường thẳng d sao cho MQ + MP đạt giá trị nhỏ nhất.

Xem đáp án » 14/09/2024 448

Câu 4:

Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH = 2,4 cm và ABAC=34. Tính bán kính đường tròn nội tiếp r và bán kính đường tròn ngoại tiếp R của tam giác ABC.

Xem đáp án » 13/09/2024 231

Câu 5:

Cho đường tròn (I; r) cố định. Một tam giác ABC thay đổi, có chu vi bằng 16 cm và luôn ngoại tiếp đường tròn (I; r). Một tiếp tuyến song song với BC cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại M và N. Tìm độ dài BC để MN có độ dài lớn nhất.

Xem đáp án » 14/09/2024 184

Câu 6:

Cho lục giác đều ABCDEF cạnh bằng a.

a) Chứng minh sáu điểm A, B, C, D, E, F cùng thuộc một đường tròn. Tính theo a bán kính của đường tròn đó.

b) Chứng minh các tam giác ACE, BFD là các tam giác đều. Tính theo a bán kính đường tròn nội tiếp tương ứng của các tam giác đó.

Xem đáp án » 13/09/2024 175

Bình luận


Bình luận
Đăng ký gói thi VIP

VIP 1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

  • Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
  • Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
  • Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
  • Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP 2 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

  • Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
  • Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
  • Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
  • Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP 3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

  • Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
  • Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
  • Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
  • Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP 4 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

  • Siêu tiết kiệm - Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
  • Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
  • Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
  • Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

Vietjack official store