Câu hỏi:
13/09/2024 77Đường tròn tâm I nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với AB, AC lần lượt tại F và E. Kẻ CK vuông góc với BI. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC, AC. Chứng minh:
a) F, E, K thẳng hàng;
b) K, N, M thẳng hàng.
Sách mới 2k7: 30 đề đánh giá năng lực DHQG Hà Nội, Tp. Hồ Chí Minh, BKHN 2025 mới nhất (600 trang - chỉ từ 160k).
Quảng cáo
Trả lời:
a) ⦁ Gọi J là trung điểm của IC.
Vì đường tròn (I) tiếp xúc với AC tại E nên IE ⊥ AC tại E. Do đó nên điểm E thuộc đường tròn tâm J, đường kính IC.
Vì CK ⊥ BI tại K nên hay nên điểm K thuộc đường tròn tâm J, đường kính IC.
Do đó bốn điểm I, E, K, C cùng thuộc đường tròn tâm J, đường kính IC.
Như vậy, tứ giác IEKC nội tiếp đường tròn.
Suy ra (hai góc nội tiếp cùng chắn cung KC). (3)
⦁ Vì đường tròn (I) là đường tròn nội tiếp tam giác ABC nên AI, BI, CI là các đường phân giác của tam giác ABC.
Gọi P là giao điểm của AI và EF.
Do AI là tia phân giác của góc BAC nên
Do BI là tia phân giác của góc ABC nên
Do CI là tia phân giác của góc ACB nên
Vì đường tròn (I) tiếp xúc với AB, AC lần lượt tại F và E hay AE, AF là hai tiếp tuyến của đường tròn (I), do đó IE = IF và AE = AF.
Suy ra AI là đường trung trực của đoạn thẳng EF nên AI ⊥ EF tại P.
Xét ∆APE có
Suy ra
Do đó (1)
Xét ∆IBC có là góc ngoài của tam giác tại đỉnh I nên
(2)
Từ (1) và (2), suy ra (4)
Từ (3) và (4), suy ra
Mà (hai góc kề bù) nên hay
Vậy ba điểm F, E, K thẳng hàng.
b) Xét ∆KBC vuông tại K có KM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC nên
Mà M là trung điểm của BC nên
Do đó MB = MK nên ∆MKB cân ở M, suy ra .
Xét ∆MKB có là góc ngoài tại đỉnh M nên
Xét ∆ABC có M, N lần lượt là trung điểm của BC, AC nên MN là đường trung bình của ∆ABC, suy ra MN // AB, do đó (hai góc đồng vị).
Suy ra vì vậy ba điểm K, N, M thẳng hàng.
Đã bán 152
Đã bán 114
Đã bán 132
Đã bán 47
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho tứ giác ABCD có Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BD, DC, CA. Chứng minh bốn điểm M, N, P, Q cùng thuộc một đường tròn. Tìm tâm đường tròn đó.
Câu 3:
Câu 4:
Cho đường tròn (O; R). Từ điểm M nằm ngoài đường tròn (O; R), kẻ các tiếp tuyến MA và MB với đường tròn đó (A, B là các tiếp điểm) sao cho
a) Xác định tâm và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác MAB.
b) Tính chu vi tam giác MAB.
c) Vẽ đường thẳng d đi qua M cắt đường tròn (O) tại hai điểm P, Q. Xác định vị trí của đường thẳng d sao cho MQ + MP đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu 5:
Cho đường tròn (I; r) cố định. Một tam giác ABC thay đổi, có chu vi bằng 16 cm và luôn ngoại tiếp đường tròn (I; r). Một tiếp tuyến song song với BC cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại M và N. Tìm độ dài BC để MN có độ dài lớn nhất.
về câu hỏi!