Câu hỏi:
13/09/2024 14,146
Đường tròn tâm I nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với AB, AC lần lượt tại F và E. Kẻ CK vuông góc với BI. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC, AC. Chứng minh:
a) F, E, K thẳng hàng;
b) K, N, M thẳng hàng.
Đường tròn tâm I nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với AB, AC lần lượt tại F và E. Kẻ CK vuông góc với BI. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC, AC. Chứng minh:
a) F, E, K thẳng hàng;
b) K, N, M thẳng hàng.
Câu hỏi trong đề: Giải SBT Toán 9 Cánh diều Bài tập cuối chương VIII !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
a) ⦁ Gọi J là trung điểm của IC.
Vì đường tròn (I) tiếp xúc với AC tại E nên IE ⊥ AC tại E. Do đó nên điểm E thuộc đường tròn tâm J, đường kính IC.
Vì CK ⊥ BI tại K nên hay nên điểm K thuộc đường tròn tâm J, đường kính IC.
Do đó bốn điểm I, E, K, C cùng thuộc đường tròn tâm J, đường kính IC.
Như vậy, tứ giác IEKC nội tiếp đường tròn.
Suy ra (hai góc nội tiếp cùng chắn cung KC). (3)
⦁ Vì đường tròn (I) là đường tròn nội tiếp tam giác ABC nên AI, BI, CI là các đường phân giác của tam giác ABC.
Gọi P là giao điểm của AI và EF.
Do AI là tia phân giác của góc BAC nên
Do BI là tia phân giác của góc ABC nên
Do CI là tia phân giác của góc ACB nên
Vì đường tròn (I) tiếp xúc với AB, AC lần lượt tại F và E hay AE, AF là hai tiếp tuyến của đường tròn (I), do đó IE = IF và AE = AF.
Suy ra AI là đường trung trực của đoạn thẳng EF nên AI ⊥ EF tại P.
Xét ∆APE có
Suy ra
Do đó (1)
Xét ∆IBC có là góc ngoài của tam giác tại đỉnh I nên
(2)
Từ (1) và (2), suy ra (4)
Từ (3) và (4), suy ra
Mà (hai góc kề bù) nên hay
Vậy ba điểm F, E, K thẳng hàng.
b) Xét ∆KBC vuông tại K có KM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC nên
Mà M là trung điểm của BC nên
Do đó MB = MK nên ∆MKB cân ở M, suy ra .
Xét ∆MKB có là góc ngoài tại đỉnh M nên
Xét ∆ABC có M, N lần lượt là trung điểm của BC, AC nên MN là đường trung bình của ∆ABC, suy ra MN // AB, do đó (hai góc đồng vị).
Suy ra vì vậy ba điểm K, N, M thẳng hàng.
Hot: 500+ Đề thi vào 10 file word các Sở Hà Nội, TP Hồ Chí Minh có đáp án 2025 (chỉ từ 100k). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
Bình luận
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho đường tròn (O; R). Từ điểm M nằm ngoài đường tròn (O; R), kẻ các tiếp tuyến MA và MB với đường tròn đó (A, B là các tiếp điểm) sao cho
a) Xác định tâm và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác MAB.
b) Tính chu vi tam giác MAB.
c) Vẽ đường thẳng d đi qua M cắt đường tròn (O) tại hai điểm P, Q. Xác định vị trí của đường thẳng d sao cho MQ + MP đạt giá trị nhỏ nhất.
Cho đường tròn (O; R). Từ điểm M nằm ngoài đường tròn (O; R), kẻ các tiếp tuyến MA và MB với đường tròn đó (A, B là các tiếp điểm) sao cho
a) Xác định tâm và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác MAB.
b) Tính chu vi tam giác MAB.
c) Vẽ đường thẳng d đi qua M cắt đường tròn (O) tại hai điểm P, Q. Xác định vị trí của đường thẳng d sao cho MQ + MP đạt giá trị nhỏ nhất.
Xem đáp án »
14/09/2024
11,907
Câu 2:
Cho tam giác ABC nhọn. Ba đường cao AI, BK, CL. Chứng minh:
a) Các tứ giác AKIB, BLKC là các tứ giác nội tiếp;
b) Trực tâm H của tam giác ABC là tâm đường tròn nội tiếp tam giác IKL.
Cho tam giác ABC nhọn. Ba đường cao AI, BK, CL. Chứng minh:
a) Các tứ giác AKIB, BLKC là các tứ giác nội tiếp;
b) Trực tâm H của tam giác ABC là tâm đường tròn nội tiếp tam giác IKL.
Xem đáp án »
13/09/2024
9,223
Câu 3:
Cho tứ giác ABCD có Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BD, DC, CA. Chứng minh bốn điểm M, N, P, Q cùng thuộc một đường tròn. Tìm tâm đường tròn đó.
Cho tứ giác ABCD có Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BD, DC, CA. Chứng minh bốn điểm M, N, P, Q cùng thuộc một đường tròn. Tìm tâm đường tròn đó.
Xem đáp án »
13/09/2024
3,186
Câu 5:
Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O), hai tia AB, DC cắt nhau tại M và Khi đó số đo góc BCM là:
A. 80°.
B. 70°.
C. 110°.
D. 100°.
Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O), hai tia AB, DC cắt nhau tại M và Khi đó số đo góc BCM là:
A. 80°.
B. 70°.
C. 110°.
D. 100°.
Xem đáp án »
13/09/2024
840
Câu 6:
Xem đáp án »
13/09/2024
785
🔥 Đề thi HOT:
-
Dạng 5: Bài toán về lãi suất ngân hàng có đáp án
-
Bộ 10 đề thi cuối kì 1 Toán 9 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 01
-
15 câu Trắc nghiệm Toán 9 Kết nối tri thức Bài 1. Khái niệm phương trình và hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có đáp án
-
Dạng 2: Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bài toán cực trị xảy ra ở biên có đáp án
-
Đề thi minh họa TS vào 10 năm học 2025 - 2026_Môn Toán_Tỉnh Đắk Lắk
-
Bộ 10 đề thi cuối kì 2 Toán 9 Chân trời sáng tạo có đáp án (Đề số 1)
-
Dạng 6: Bài toán về tăng giá, giảm giá và tăng, giảm dân số có đáp án
-
123 bài tập Nón trụ cầu và hình khối có lời giải
Hãy Đăng nhập hoặc Tạo tài khoản để gửi bình luận
-
-
Bình luận