Đường tròn tâm I nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với AB, AC lần lượt tại F và E. Kẻ CK vuông góc với BI. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC, AC. Chứng minh:

a) F, E, K thẳng hàng;

b) K, N, M thẳng hàng.

a) ⦁ Gọi J là trung điểm của IC.

Vì đường tròn (I) tiếp xúc với AC tại E nên IE ⊥ AC tại E. Do đó $\widehat{IEC}=90°$ nên điểm E thuộc đường tròn tâm J, đường kính IC.

Vì CK ⊥ BI tại K nên $\widehat{BKC}=90°$ hay $\widehat{IKC}=90°$ nên điểm K thuộc đường tròn tâm J, đường kính IC.

Do đó bốn điểm I, E, K, C cùng thuộc đường tròn tâm J, đường kính IC.

Như vậy, tứ giác IEKC nội tiếp đường tròn.

Suy ra $\widehat{KEC}=\widehat{KIC}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung KC). (3)

⦁ Vì đường tròn (I) là đường tròn nội tiếp tam giác ABC nên AI, BI, CI là các đường phân giác của tam giác ABC.

Gọi P là giao điểm của AI và EF.

Do AI là tia phân giác của góc BAC nên $\widehat{PAE}=\frac{1}{2}\widehat{BAC}.$

Do BI là tia phân giác của góc ABC nên $\widehat{IBC}=\frac{1}{2}\widehat{ABC}.$

Do CI là tia phân giác của góc ACB nên $\widehat{ICB}=\frac{1}{2}\widehat{ACB}.$

Vì đường tròn (I) tiếp xúc với AB, AC lần lượt tại F và E hay AE, AF là hai tiếp tuyến của đường tròn (I), do đó IE = IF và AE = AF.

Suy ra AI là đường trung trực của đoạn thẳng EF nên AI ⊥ EF tại P.

Xét ∆APE có $\widehat{APE}+\widehat{PAE}+\widehat{AEP}=180°$

Suy ra $\widehat{AEP}=180°-\widehat{APE}-\widehat{PAE}=180°-90°-\frac{1}{2}\widehat{BAC}=90°-\frac{1}{2}\widehat{BAC}.$

Do đó $\widehat{AEF}=90°-\frac{1}{2}\widehat{BAC}.$ (1)

Xét ∆IBC có  là góc ngoài của tam giác tại đỉnh I nên

$\widehat{KIC}=\widehat{IBC}+\widehat{ICB}=\frac{1}{2}\widehat{ABC}+\frac{1}{2}\widehat{ACB}=\frac{\widehat{ABC}+\widehat{ACB}}{2}=\frac{180°-\widehat{BAC}}{2}=90°-\frac{1}{2}\widehat{BAC}.$ (2)

Từ (1) và (2), suy ra $\widehat{AEF}=\widehat{KIC}.$ (4)

Từ (3) và (4), suy ra $\widehat{AEF}=\widehat{KEC}.$

Mà $\widehat{AEF}+\widehat{CEF}=180°$ (hai góc kề bù) nên $\widehat{KEC}+\widehat{CEF}=180°$ hay $\widehat{KEF}=180°.$

Vậy ba điểm F, E, K thẳng hàng.

b) Xét ∆KBC vuông tại K có KM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC nên $KM=\frac{1}{2}BC.$

Mà M là trung điểm của BC nên $MB=MC=\frac{1}{2}BC.$

Do đó MB = MK nên ∆MKB cân ở M, suy ra $\widehat{MBK}=\widehat{MKB}$.

Xét ∆MKB có $\widehat{KMC}$ là góc ngoài tại đỉnh M nên $\widehat{KMC}=\widehat{MBK}+\widehat{MKB}=2\widehat{MBK}=2·\frac{\widehat{ABC}}{2}=\widehat{ABC}.$

Xét ∆ABC có M, N lần lượt là trung điểm của BC, AC nên MN là đường trung bình của ∆ABC, suy ra MN // AB, do đó $\widehat{NMC}=\widehat{ABC}$ (hai góc đồng vị).

Suy ra $\widehat{KMC}=\widehat{NMC}$ vì vậy ba điểm K, N, M thẳng hàng.