Cho tứ giác ABCD có Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BD, DC, CA. Chứng minh bốn điểm M, N, P, Q cùng thuộc một đường tròn. Tìm tâm đường tròn đó.
Cho tứ giác ABCD có Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BD, DC, CA. Chứng minh bốn điểm M, N, P, Q cùng thuộc một đường tròn. Tìm tâm đường tròn đó.
Câu hỏi trong đề: Giải SBT Toán 9 Cánh diều Bài tập cuối chương VIII !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Gọi T là giao điểm của hai đường thẳng AD và CB.
Xét ∆TCD có
Suy ra nên AD ⊥ BC.
Xét ∆ABD có M, N lần lượt là trung điểm của AB, BD nên MN là đường trung bình của ∆ABD, do đó MN // AD.
Tương tự, ta có MQ là đường trung bình của ∆ABC nên MQ // BC.
Mặt khác AD ⊥ BC, suy ra MN ⊥ MQ.
Chứng minh tương tự ta cũng có MN ⊥ NP, NP ⊥ PQ.
Suy ra MNPQ là hình chữ nhật (tứ giác có ba góc vuông).
Vậy bốn điểm M, N, P, Q cùng thuộc một đường tròn có tâm O là giao điểm của hai đường chéo MP và NQ.
Hot: Giáo án năng lực số, PPT AI khởi động lớp 1-12 (Update 2026) (chỉ từ 150k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
a) ⦁ Gọi J là trung điểm của IC.
Vì đường tròn (I) tiếp xúc với AC tại E nên IE ⊥ AC tại E. Do đó nên điểm E thuộc đường tròn tâm J, đường kính IC.
Vì CK ⊥ BI tại K nên hay nên điểm K thuộc đường tròn tâm J, đường kính IC.
Do đó bốn điểm I, E, K, C cùng thuộc đường tròn tâm J, đường kính IC.
Như vậy, tứ giác IEKC nội tiếp đường tròn.
Suy ra (hai góc nội tiếp cùng chắn cung KC). (3)
⦁ Vì đường tròn (I) là đường tròn nội tiếp tam giác ABC nên AI, BI, CI là các đường phân giác của tam giác ABC.
Gọi P là giao điểm của AI và EF.
Do AI là tia phân giác của góc BAC nên
Do BI là tia phân giác của góc ABC nên
Do CI là tia phân giác của góc ACB nên
Vì đường tròn (I) tiếp xúc với AB, AC lần lượt tại F và E hay AE, AF là hai tiếp tuyến của đường tròn (I), do đó IE = IF và AE = AF.
Suy ra AI là đường trung trực của đoạn thẳng EF nên AI ⊥ EF tại P.
Xét ∆APE có
Suy ra
Do đó (1)
Xét ∆IBC có là góc ngoài của tam giác tại đỉnh I nên
(2)
Từ (1) và (2), suy ra (4)
Từ (3) và (4), suy ra
Mà (hai góc kề bù) nên hay
Vậy ba điểm F, E, K thẳng hàng.
b) Xét ∆KBC vuông tại K có KM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC nên
Mà M là trung điểm của BC nên
Do đó MB = MK nên ∆MKB cân ở M, suy ra .
Xét ∆MKB có là góc ngoài tại đỉnh M nên
Xét ∆ABC có M, N lần lượt là trung điểm của BC, AC nên MN là đường trung bình của ∆ABC, suy ra MN // AB, do đó (hai góc đồng vị).
Suy ra vì vậy ba điểm K, N, M thẳng hàng.
Lời giải
a) ⦁ Ta có MA, MB là các tiếp tuyến của đường tròn (O) lần lượt tại A và B nên MA ⊥ OA, MB ⊥ OB.
Xét ∆OAM vuông tại A, theo định lí Pythagore, ta có:
Suy ra OM = 2R.
Gọi I là giao điểm của (O) với tia OM, ta có OI = R nên IM = OM – OI = 2R – R = R.
Do đó, IM = IO = R nên I là trung điểm của OM.
Do ∆OAM vuông tại A nên trung điểm I của cạnh huyền OM là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆OAM.
Do ∆OBM vuông tại B nên trung điểm I của cạnh huyền OM là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆OBM.
Do đó bốn điểm A, M, B, O cùng nằm trên đường tròn (I) đường kính OM.
Vậy I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AMB. (1)
⦁ Xét ∆OAM vuông tại A, ta có:
Suy ra
Do MA, MB là hai tiếp tuyến của đường tròn (O) cắt nhau tại M nên MA = MB và MO là tia phân giác của góc AMB, suy ra .
Vì vậy tam giác AMB là tam giác đều có (2)
Từ (1), (2) suy ra đường tròn nội tiếp tam giác đều MAB cạnh có tâm là I và bán kính là
b) Do tam giác MAB đều cạnh nên chu vi tam giác MAB bằng
c) Ta có suy ra (3)
Do ∆OBP cân tại O (do OB = OP) nên ta có:
Xét đường tròn (O) có lần lượt là góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung BP nên
Do đó . Hay (4)
Từ (3) và (4) suy ra
Xét ∆MPB và ∆MBQ có:
là góc chung
Do đó ∆MPB ᔕ ∆MBQ (g.g).
Suy ra hay
Lại có (MQ – MP)2 ≥ 0 hay (MQ + MP)2 ≥ 4MQ.MP
Suy ra (MQ + MP)2 ≥ 4.3R2 = 12R2
Do đó (dấu “=” xảy ra khi MQ = MP).
Vậy MQ + MP đạt giá trị nhỏ nhất bằng khi đó MP = MQ hay đường thẳng d đi qua M và A hoặc d đi qua M và B.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập