Câu hỏi:
13/09/2024 9,559
Cho tam giác ABC nhọn. Ba đường cao AI, BK, CL. Chứng minh:
a) Các tứ giác AKIB, BLKC là các tứ giác nội tiếp;
b) Trực tâm H của tam giác ABC là tâm đường tròn nội tiếp tam giác IKL.
Cho tam giác ABC nhọn. Ba đường cao AI, BK, CL. Chứng minh:
a) Các tứ giác AKIB, BLKC là các tứ giác nội tiếp;
b) Trực tâm H của tam giác ABC là tâm đường tròn nội tiếp tam giác IKL.
Câu hỏi trong đề: Giải SBT Toán 9 Cánh diều Bài tập cuối chương VIII !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
a) Xét ∆ABC có ba đường cao AI, BK, CL nên AI ⊥ BC, BK ⊥ AC, CL ⊥ AB.
Do ∆ABK vuông tại K và ∆ABI vuông tại I nên hai điểm K, I cùng thuộc đường tròn đường kính AB. Do đó tứ giác AKIB nội tiếp đường tròn đường kính AB.
Do ∆BCL vuông tại L và ∆BCK vuông tại K nên hai điểm L, K cùng thuộc đường tròn đường kính BC. Do đó tứ giác BLKC nội tiếp đường tròn đường kính BC.
b) Do tứ giác AKIB nội tiếp đường tròn nên tổng hai góc đối nhau của tứ giác này bằng 180°, suy ra
Mà (hai góc kề bù)
Nên hay
Tương tự ta cũng có
Suy ra .
Từ đó ta có hay
Vì vậy KH là đường phân giác của góc LKI.
Tương tự cũng có LH là đường phân giác của góc KLI.
Vậy H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác IKL.
Hot: 500+ Đề thi vào 10 file word các Sở Hà Nội, TP Hồ Chí Minh có đáp án 2025 (chỉ từ 100k). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
a) ⦁ Gọi J là trung điểm của IC.
Vì đường tròn (I) tiếp xúc với AC tại E nên IE ⊥ AC tại E. Do đó nên điểm E thuộc đường tròn tâm J, đường kính IC.
Vì CK ⊥ BI tại K nên hay nên điểm K thuộc đường tròn tâm J, đường kính IC.
Do đó bốn điểm I, E, K, C cùng thuộc đường tròn tâm J, đường kính IC.
Như vậy, tứ giác IEKC nội tiếp đường tròn.
Suy ra (hai góc nội tiếp cùng chắn cung KC). (3)
⦁ Vì đường tròn (I) là đường tròn nội tiếp tam giác ABC nên AI, BI, CI là các đường phân giác của tam giác ABC.
Gọi P là giao điểm của AI và EF.
Do AI là tia phân giác của góc BAC nên
Do BI là tia phân giác của góc ABC nên
Do CI là tia phân giác của góc ACB nên
Vì đường tròn (I) tiếp xúc với AB, AC lần lượt tại F và E hay AE, AF là hai tiếp tuyến của đường tròn (I), do đó IE = IF và AE = AF.
Suy ra AI là đường trung trực của đoạn thẳng EF nên AI ⊥ EF tại P.
Xét ∆APE có
Suy ra
Do đó (1)
Xét ∆IBC có là góc ngoài của tam giác tại đỉnh I nên
(2)
Từ (1) và (2), suy ra (4)
Từ (3) và (4), suy ra
Mà (hai góc kề bù) nên hay
Vậy ba điểm F, E, K thẳng hàng.
b) Xét ∆KBC vuông tại K có KM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC nên
Mà M là trung điểm của BC nên
Do đó MB = MK nên ∆MKB cân ở M, suy ra .
Xét ∆MKB có là góc ngoài tại đỉnh M nên
Xét ∆ABC có M, N lần lượt là trung điểm của BC, AC nên MN là đường trung bình của ∆ABC, suy ra MN // AB, do đó (hai góc đồng vị).
Suy ra vì vậy ba điểm K, N, M thẳng hàng.
Lời giải
a) ⦁ Ta có MA, MB là các tiếp tuyến của đường tròn (O) lần lượt tại A và B nên MA ⊥ OA, MB ⊥ OB.
Xét ∆OAM vuông tại A, theo định lí Pythagore, ta có:
Suy ra OM = 2R.
Gọi I là giao điểm của (O) với tia OM, ta có OI = R nên IM = OM – OI = 2R – R = R.
Do đó, IM = IO = R nên I là trung điểm của OM.
Do ∆OAM vuông tại A nên trung điểm I của cạnh huyền OM là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆OAM.
Do ∆OBM vuông tại B nên trung điểm I của cạnh huyền OM là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆OBM.
Do đó bốn điểm A, M, B, O cùng nằm trên đường tròn (I) đường kính OM.
Vậy I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AMB. (1)
⦁ Xét ∆OAM vuông tại A, ta có:
Suy ra
Do MA, MB là hai tiếp tuyến của đường tròn (O) cắt nhau tại M nên MA = MB và MO là tia phân giác của góc AMB, suy ra .
Vì vậy tam giác AMB là tam giác đều có (2)
Từ (1), (2) suy ra đường tròn nội tiếp tam giác đều MAB cạnh có tâm là I và bán kính là
b) Do tam giác MAB đều cạnh nên chu vi tam giác MAB bằng
c) Ta có suy ra (3)
Do ∆OBP cân tại O (do OB = OP) nên ta có:
Xét đường tròn (O) có lần lượt là góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung BP nên
Do đó . Hay (4)
Từ (3) và (4) suy ra
Xét ∆MPB và ∆MBQ có:
là góc chung
Do đó ∆MPB ᔕ ∆MBQ (g.g).
Suy ra hay
Lại có (MQ – MP)2 ≥ 0 hay (MQ + MP)2 ≥ 4MQ.MP
Suy ra (MQ + MP)2 ≥ 4.3R2 = 12R2
Do đó (dấu “=” xảy ra khi MQ = MP).
Vậy MQ + MP đạt giá trị nhỏ nhất bằng khi đó MP = MQ hay đường thẳng d đi qua M và A hoặc d đi qua M và B.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
🔥 Đề thi HOT:
-
Dạng 5: Bài toán về lãi suất ngân hàng có đáp án
-
Dạng 6: Bài toán về tăng giá, giảm giá và tăng, giảm dân số có đáp án
-
Dạng 2: Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bài toán cực trị xảy ra ở biên có đáp án
-
15 câu Trắc nghiệm Toán 9 Kết nối tri thức Bài 1. Khái niệm phương trình và hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có đáp án
-
12 bài tập Một số bài toán thực tế liên quan đến bất đẳng thức có lời giải
-
Tổng hợp các bài toán thực tế ôn thi vào 10 Toán 9 có đáp án (Phần 2: Hình học)
-
12 bài tập Một số bài toán thực tế liên quan đến bất phương trình bậc nhất một ẩn có lời giải
-
Đề ôn thi vào 10 môn Toán có đáp án (Mới nhất)- Đề số 1