Câu hỏi:

14/09/2024 478

Cho đường tròn (I; r) cố định. Một tam giác ABC thay đổi, có chu vi bằng 16 cm và luôn ngoại tiếp đường tròn (I; r). Một tiếp tuyến song song với BC cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại M và N. Tìm độ dài BC để MN có độ dài lớn nhất.

Sách mới 2k7: Bộ 20 đề minh họa Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. form chuẩn 2025 của Bộ giáo dục (chỉ từ 49k/cuốn).

Đề toán-lý-hóa Đề văn-sử-địa Tiếng anh & các môn khác

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack
Cho đường tròn (I; r) cố định. Một tam giác ABC thay đổi, có chu vi bằng 16 cm và luôn ngoại tiếp đường (ảnh 1)

Giả sử đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh AB, BC, CA lần lượt tại D, F, E và BC = x.

Ta có MN // BC nên ∆AMN ∆ABC.

Suy ra: MNBC=AMAB=ANAC.

Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

MNBC=AMAB=ANAC=MN+AM+ANBC+AB+AC=Chu vi AMNChu vi ABC. (*)

Vì AD, AE là các tiếp tuyến của đường tròn (I; r) tại D, E nên AD = AE.

Tương tự, ta có BD = BF và CE = CF.

Do đó AD + AE = AB – BD + AC CE

                           = AB + AC – (BD + CE)

                           = AB + AC – (BF + CF)

                           = AB + AC – BC.

Gọi H là tiếp điểm của đường tròn (I; r) với MN.

Hai tiếp tuyến MD, MH của đường tròn (I; r) cắt nhau tại M nên MD = MH.

Tương tự ta có NE = NH.

Ta có:

Chu vi ∆AMN

= AM + AN + MN

= AD – MD + AE – NE + MN

= AD + AE – (MD + NE) + MN

= AD + AE – (MH + NH) + MN

= AD + AE – MN + MN

= AD + AE

= AB + AC – BC

= AB + AC + BC – 2BC

= Chu vi ∆ABC 2x (với x = BC)

= 16 – 2x.

Từ (*) ta có: MNBC=Chu vi AMNChu vi ABC, hay MNx=16-2x16.

Từ đó MN=x16-2x16=2x8-x16=4·x·8-x32x+8-x232=2

Do đó, MN có độ dài lớn nhất bằng 2 cm khi x = 8 x hay x = 4, tức là BC = 4 cm.

Bình luận


Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Đường tròn tâm I nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với AB, AC lần lượt tại F và E. Kẻ CK vuông góc với BI. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC, AC. Chứng minh:

a) F, E, K thẳng hàng;

b) K, N, M thẳng hàng.

Xem đáp án » 13/09/2024 11,997

Câu 2:

Cho đường tròn (O; R). Từ điểm M nằm ngoài đường tròn (O; R), kẻ các tiếp tuyến MA và MB với đường tròn đó (A, B là các tiếp điểm) sao cho

a) Xác định tâm và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác MAB.

b) Tính chu vi tam giác MAB.

c) Vẽ đường thẳng d đi qua M cắt đường tròn (O) tại hai điểm P, Q. Xác định vị trí của đường thẳng d sao cho MQ + MP đạt giá trị nhỏ nhất.

Xem đáp án » 14/09/2024 7,111

Câu 3:

Cho tam giác ABC nhọn. Ba đường cao AI, BK, CL. Chứng minh:

a) Các tứ giác AKIB, BLKC là các tứ giác nội tiếp;

b) Trực tâm H của tam giác ABC là tâm đường tròn nội tiếp tam giác IKL.

Xem đáp án » 13/09/2024 6,289

Câu 4:

Cho tứ giác ABCD có C^+D^=90°. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BD, DC, CA. Chứng minh bốn điểm M, N, P, Q cùng thuộc một đường tròn. Tìm tâm đường tròn đó.

Xem đáp án » 13/09/2024 3,047

Câu 5:

Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH = 2,4 cm và ABAC=34. Tính bán kính đường tròn nội tiếp r và bán kính đường tròn ngoại tiếp R của tam giác ABC.

Xem đáp án » 13/09/2024 899

Câu 6:

Cho tam giác ABC có BC = 10 và BAC^=30°. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Xem đáp án » 13/09/2024 737

Câu 7:

Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O), hai tia AB, DC cắt nhau tại M và  Khi đó số đo góc BCM là:

A. 80°.

B. 70°.

C. 110°.

D. 100°.

Xem đáp án » 13/09/2024 569