Câu hỏi:
14/09/2024 48Cho đường tròn (I; r) cố định. Một tam giác ABC thay đổi, có chu vi bằng 16 cm và luôn ngoại tiếp đường tròn (I; r). Một tiếp tuyến song song với BC cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại M và N. Tìm độ dài BC để MN có độ dài lớn nhất.
Sách mới 2k7: 30 đề đánh giá năng lực DHQG Hà Nội, Tp. Hồ Chí Minh, BKHN 2025 mới nhất (600 trang - chỉ từ 160k).
Quảng cáo
Trả lời:
Giả sử đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh AB, BC, CA lần lượt tại D, F, E và BC = x.
Ta có MN // BC nên ∆AMN ᔕ ∆ABC.
Suy ra:
Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
(*)
Vì AD, AE là các tiếp tuyến của đường tròn (I; r) tại D, E nên AD = AE.
Tương tự, ta có BD = BF và CE = CF.
Do đó AD + AE = AB – BD + AC – CE
= AB + AC – (BD + CE)
= AB + AC – (BF + CF)
= AB + AC – BC.
Gọi H là tiếp điểm của đường tròn (I; r) với MN.
Hai tiếp tuyến MD, MH của đường tròn (I; r) cắt nhau tại M nên MD = MH.
Tương tự ta có NE = NH.
Ta có:
Chu vi ∆AMN
= AM + AN + MN
= AD – MD + AE – NE + MN
= AD + AE – (MD + NE) + MN
= AD + AE – (MH + NH) + MN
= AD + AE – MN + MN
= AD + AE
= AB + AC – BC
= AB + AC + BC – 2BC
= Chu vi ∆ABC – 2x (với x = BC)
= 16 – 2x.
Từ (*) ta có: hay
Từ đó
Do đó, MN có độ dài lớn nhất bằng 2 cm khi x = 8 – x hay x = 4, tức là BC = 4 cm.
Đã bán 152
Đã bán 114
Đã bán 132
Đã bán 47
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Đường tròn tâm I nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với AB, AC lần lượt tại F và E. Kẻ CK vuông góc với BI. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC, AC. Chứng minh:
a) F, E, K thẳng hàng;
b) K, N, M thẳng hàng.
Câu 2:
Cho tứ giác ABCD có Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BD, DC, CA. Chứng minh bốn điểm M, N, P, Q cùng thuộc một đường tròn. Tìm tâm đường tròn đó.
Câu 4:
Câu 5:
Cho đường tròn (O; R). Từ điểm M nằm ngoài đường tròn (O; R), kẻ các tiếp tuyến MA và MB với đường tròn đó (A, B là các tiếp điểm) sao cho
a) Xác định tâm và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác MAB.
b) Tính chu vi tam giác MAB.
c) Vẽ đường thẳng d đi qua M cắt đường tròn (O) tại hai điểm P, Q. Xác định vị trí của đường thẳng d sao cho MQ + MP đạt giá trị nhỏ nhất.
về câu hỏi!