Khi chuyển động, giả sử đầu mũi kim dài của một chiếc đồng hồ vạch nên một đường tròn, kí hiệu là (T1), trong khi đầu mũi kim ngắn vạch nên một đường tròn khác, kí hiệu là (T2).

a) Hai đường tròn (T1) và (T2) có vị trí tương đối như thế nào?

b) Giả sử bán kính của (T1) và (T2) lần lượt là R₁ và R₂. Người ta vẽ trên mặt đồng hồ một họa tiết hình tròn có tâm nằm cách điểm trục kim đồng hồ một khoảng bằng \(\frac{1}{2}{R_1}\) và có bán kính bằng \(\frac{1}{2}{R_2}.\) Hãy cho biết vị trí tương đối của đường tròn (T3) đối với mỗi đường tròn (T1) và (T2). Vẽ ba đường tròn đó nếu R₁ = 3 cm và R₂ = 2 cm.

a) (T1) và (T2) là hai đường tròn đồng tâm với tâm O là điểm trục của hai kim đồng hồ.

b) (T2) là đường tròn tạo bởi đầu kim ngắn nên R₂ < R₁. (1)

Gọi O' là tâm và R₃ là bán kính của đường tròn (T3). Theo đề bài, ta có:

\({R_3} = \frac{1}{2}{R_2}\) và \(OO' = \frac{1}{2}{R_1}.\) (2)

• Xét hai đường tròn (T1) và (T3), tức là hai đường tròn có bán kính R₁ và R₃.

Từ (1) và (2), ta có:

\({R_1} - {R_3} = {R_1} - \frac{1}{2}{R_2} = \frac{1}{2}\left( {{R_1} - {R_2}} \right) + \frac{1}{2}{R_1} > \frac{1}{2}{R_1},\) suy ra R₁ – R₃ > OO'.

Do đó (T1) đựng (T3).

• Xét hai đường tròn (T2) và (T3), tức là hai đường tròn có bán kính R₂ và R₃.

Từ (2) ta có:

\({R_2} - {R_3} = {R_2} - \frac{1}{2}{R_2} = \frac{1}{2}{R_2} > 0.\) (3)

Mặt khác, \({R_2} + {R_3} = {R_2} + \frac{1}{2}{R_2} = \frac{3}{2}{R_2}.\) Do đó:

− Nếu 3R₂ > R₁ thì \({R_2} + {R_3} = \frac{3}{2}{R_2} > \frac{1}{2}{R_1} = OO',\) tức là \({R_2} + {R_3} > OO'.\)

Kết hợp với (3) ta thấy (T2) và (T3) cắt nhau.

− Nếu 3R₂ = R₁ thì \({R_2} + {R_3} = \frac{3}{2}{R_2} = \frac{1}{2}{R_1} = OO',\) tức là \({R_2} + {R_3} = OO'\) và ta có (T2), (T3) tiếp xúc nhau.

− Nếu 3R₂ < R₁ thì \({R_2} + {R_3} = \frac{3}{2}{R_2} < \frac{1}{2}{R_1} = OO',\) tức là \({R_2} + {R_3} < OO'\) và ta có (T2) và (T3) không giao nhau.