$Khi chuyển động, giả sử đầu mũi kim dài của một chiếc đồng hồ vạch nên một đường tròn, kí hiệu là (T1), trong khi đầu mũi kim ngắn vạch nên một đường tròn khác, kí hiệu là (T2). a) Hai đường tròn (T1) và (T2) có vị trí tương đối như thế nào? b) Giả sử bán kính của (T1) và (T2) lần lượt là R1 và R2. Người ta vẽ trên mặt đồng hồ một họa tiết hình tròn có tâm nằm cách điểm trục kim đồng hồ một khoảng bằng $\frac{1}{2}{R_1}$ và có bán kính bằng $\frac{1}{2}{R_2}.$ Hãy cho biết vị trí tương đối của đường tròn (T3) đối với mỗi đường tròn (T1) và (T2). Vẽ ba đường tròn đó nếu R1 = 3 cm và R2 = 2 cm. (ảnh 2)$

a) (T1) và (T2) là hai đường tròn đồng tâm với tâm O là điểm trục của hai kim đồng hồ.

b) (T2) là đường tròn tạo bởi đầu kim ngắn nên R₂ < R₁. (1)

Gọi O' là tâm và R₃ là bán kính của đường tròn (T3). Theo đề bài, ta có:

${R_3} = \frac{1}{2}{R_2}$ và $OO' = \frac{1}{2}{R_1}.$ (2)

• Xét hai đường tròn (T1) và (T3), tức là hai đường tròn có bán kính R₁ và R₃.

Từ (1) và (2), ta có:

${R_1} - {R_3} = {R_1} - \frac{1}{2}{R_2} = \frac{1}{2}\left( {{R_1} - {R_2}} \right) + \frac{1}{2}{R_1} > \frac{1}{2}{R_1},$ suy ra R₁ – R₃ > OO'.

Do đó (T1) đựng (T3).

• Xét hai đường tròn (T2) và (T3), tức là hai đường tròn có bán kính R₂ và R₃.

Từ (2) ta có:

${R_2} - {R_3} = {R_2} - \frac{1}{2}{R_2} = \frac{1}{2}{R_2} > 0.$ (3)

Mặt khác, ${R_2} + {R_3} = {R_2} + \frac{1}{2}{R_2} = \frac{3}{2}{R_2}.$ Do đó:

− Nếu 3R₂ > R₁ thì ${R_2} + {R_3} = \frac{3}{2}{R_2} > \frac{1}{2}{R_1} = OO',$ tức là ${R_2} + {R_3} > OO'.$

Kết hợp với (3) ta thấy (T2) và (T3) cắt nhau.

− Nếu 3R₂ = R₁ thì ${R_2} + {R_3} = \frac{3}{2}{R_2} = \frac{1}{2}{R_1} = OO',$ tức là ${R_2} + {R_3} = OO'$ và ta có (T2), (T3) tiếp xúc nhau.

− Nếu 3R₂ < R₁ thì ${R_2} + {R_3} = \frac{3}{2}{R_2} < \frac{1}{2}{R_1} = OO',$ tức là ${R_2} + {R_3} < OO'$ và ta có (T2) và (T3) không giao nhau.

Câu 3/4

Cho đường tròn (O) đường kính AB, tiếp tuyến xx' tại A và tiếp tuyến yy' tại B của (O). Một tiếp tuyến thứ ba của (O) tại điểm P (P khác A và B) cắt xx' tại M và cắt yy' tại N.

a) Chứng minh rằng MN = MA + NB.

b) Đường thẳng đi qua O và vuông góc với AB cắt NM tại Q. Chứng minh rằng Q là trung điểm của đoạn MN.

c) Chứng minh rằng AB tiếp xúc với đường tròn đường kính MN.

Xem đáp án

Lời giải

(H.5.40)

Cho đường tròn (O) đường kính AB, tiếp tuyến xx' tại A và tiếp tuyến yy' tại B của (O). Một tiếp tuyến thứ ba của (O) tại điểm P (P khác A và B) cắt xx' tại M và cắt yy' tại N. a) Chứng minh rằng MN = MA + NB. b) Đường thẳng đi qua O và vuông góc với AB cắt NM tại Q. Chứng minh rằng Q là trung điểm của đoạn MN. c) Chứng minh rằng AB tiếp xúc với đường tròn đường kính MN. (ảnh 1)

a) Ta có MN = MP + NP. Mặt khác, MA và MP là hai tiếp tuyến cắt nhau của (O) nên MA = MP. Tương tự, ta cũng có NB = NP.

Cộng từng vế hai đẳng thức trên ta được:

MA + NB = MP + NP (điều phải chứng minh).

b) Do OQ ⊥ AB (giả thiết), MA ⊥ AB và MB ⊥ AB (MA, MB là tiếp tuyến của (O) tại A và B) nên OQ // MA // MB. Nối A với N cắt OQ tại C.

Trong tam giác ABN, đường thẳng OQ đi qua trung điểm của cạnh AB và song song với BN nên C là trung điểm của trung điểm của AN.

Trong tam giác AMN, đường thẳng OQ đi qua trung điểm của AN và song song với AM nên Q là trung điểm của MN.

c) Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau, OM là tia phân giác của góc $\widehat {AOP}$ và ON là tia phân giác của góc $\widehat {BOP}.$ Khi đó:

$\widehat {MON} = \widehat {MOP} + \widehat {NOP} = \frac{1}{2}\widehat {AOP} + \frac{1}{2}\widehat {BOP}$

$ = \frac{1}{2}\left( {\widehat {AOP} + \widehat {BOP}} \right) = \frac{1}{2}.180^\circ = 90^\circ .$

Do đó tam giác MON là tam giác vuông tại O với OQ là đường trung tuyến.

Từ đó ta có OQ = MQ = NQ.

Do đó, đường tròn đường kính MN, cũng là đường tròn tâm Q đi qua O. Do đó AB cắt nhau và vuông góc với QO tại O.

Suy ra AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính MN.

Nói cách khác, AB tiếp xúc với đường tròn đường kính MN.

Câu 4/4

Cho hai đường tròn (O) và (O') tiếp xúc ngoài với nhau tại A và cùng tiếp xúc với đường thẳng d tại B và C (khác A), trong đó B ∈ (O) và C ∈ (O'). Tiếp tuyến của (O) tại A cắt BC tại M. Chứng minh rằng:

a) Đường thẳng MA tiếp xúc với (O');

b) Điểm M là trung điểm của đoạn thẳng BC từ đó suy ra ABC là tam giác vuông.

Xem đáp án

Lời giải

(H.5.41)

Cho hai đường tròn (O) và (O') tiếp xúc ngoài với nhau tại A và cùng tiếp xúc với đường thẳng d tại B và C (khác A), trong đó B ∈ (O) và C ∈ (O'). Tiếp tuyến của (O) tại A cắt BC tại M. Chứng minh rằng: a) Đường thẳng MA tiếp xúc với (O'); b) Điểm M là trung điểm của đoạn thẳng BC từ đó suy ra ABC là tam giác vuông. (ảnh 1)

a) Hai đường tròn (O) và (O') tiếp xúc ngoài với nhau nên A ∈ (O').

Vì MA là tiếp tuyến của (O) tại A nên A ∈ (O), từ đó suy ra MA tiếp xúc với (O') tại A. Do đó MA là tiếp tuyến của (O') tại A.

b) MA và MB là hai tiếp tuyến của (O) tại M nên MA = MB.

Tương tự đối với đường tròn (O'), ta cũng có MA = MC.

Do đó MB = MC = MA.

Vậy M là trung điểm của BC.

Tam giác ABC có đường trung tuyến MA bằng một nửa cạnh huyền BC nên tam giác ABC là tam giác vuông.

Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Đại học

ĐGNL - ĐGTD

Tốt nghiệp THPT

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

V-ACT

HSA

TSA

SPT

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán