Giải VTH Toán 9 KNTT Bài 11. Tỉ số lượng giác của góc nhọn có đáp án

Đáp án đúng là: C

Xét tam giác ABC vuông tại A, ta có:

\(\sin B = \frac{{AC}}{{BC}};\) \(\cos B = \frac{{AB}}{{BC}};\) \(\tan B = \frac{{AC}}{{AB}};\) \(\cot C = \frac{{AC}}{{AB}}.\)

Vậy đáp án đúng là đáp án C.

Đáp án đúng là: D

Xét tam giác ABC vuông tại A có \(\widehat C = 30^\circ ,\) ta có:

\(\widehat B = 90^\circ - \widehat C = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ \) (định lí tổng ba góc trong một tam giác).

Suy ra \[\sin B = \sin 60^\circ = \frac{{\sqrt 3 }}{2};\] \(\cos C = \cos 30^\circ = \frac{{\sqrt 3 }}{2};\)

\[\tan B = \tan 60^\circ = \sqrt 3 ;\] \(\cot B = \cot 60^\circ = \frac{{\sqrt 3 }}{3}.\)

Vậy khẳng định D là khẳng định sai.

Đáp án đúng là: D

Ta thấy α, β là hai góc nhọn trong tam giác vuông ABC nên α, β là hai góc phụ nhau.

Suy ra ta có: sin α = cos β, cos α = sin β, tan α = cot β, cot α = tan β.

Đáp án đúng là: D

Hai góc nhọn α, β là hai góc phụ nhau thì ta có:

sin α = cos β, cos α = sin β, tan α = cot β, cot α = tan β.

Ta thấy:

• \(\sin 82^\circ = \cos \left( {90^\circ - 82^\circ } \right) = \cos 8^\circ \) nên đáp án A sai.

• \(\cos 75^\circ = \sin \left( {90^\circ - 75^\circ } \right) = \sin 15^\circ \) nên đáp án B sai.

• \(\cot 52^\circ = \tan \left( {90^\circ - 52^\circ } \right) = \tan 38^\circ \) nên đáp án C sai.

• \(\tan 30^\circ 40' = \cot \left( {90^\circ - 30^\circ 40'} \right) = \cot 59^\circ 20'\) nên đáp án D đúng.

a) (H.4.5a)

Theo định lí Pythagore, ta có

AC² + AB² = BC²

AC² = BC² – AB²

\(AC = \sqrt {B{C^2} - A{B^2}} = \sqrt {{{17}^2} - {8^2}} = \sqrt {225} = 15.\)

Từ đó:

• \(\sin B = \cos C = \frac{{AC}}{{BC}} = \frac{{15}}{{17}},\) \(\cos B = \sin C = \frac{{AB}}{{BC}} = \frac{8}{{17}},\)

• \(\tan B = \cot C = \frac{{AC}}{{AB}} = \frac{{15}}{8},\) \(\cot B = \tan C = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{8}{{15}}.\)

b) (H.4.5b)

Theo Pythagore, ta có:

\(BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = \sqrt {{{1,2}^2} + {{0,9}^2}} = \sqrt {2,25} = 1,5.\)

Từ đó:

• \(\sin B = \cos C = \frac{{AC}}{{BC}} = \frac{{0,9}}{{1,5}} = 0,6,\)

• \(\cos B = \sin C = \frac{{AB}}{{BC}} = \frac{{1,2}}{{1,5}} = 0,8,\)

\(\tan B = \cot C = \frac{{AC}}{{AB}} = \frac{{0,9}}{{1,2}} = 0,75,\)

\(\cot B = \tan C = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{1,2}}{{0,9}} = \frac{4}{3}.\)

(H.4.6)

Tam giác ABC vuông tại A, \(\widehat B = 60^\circ ,\) AB = 3.

Ta cần tính cạnh AC.

Ta có \(\tan B = \tan 60^\circ = \sqrt 3 ,\) do đó \(\frac{{AC}}{{AB}} = \sqrt 3 ,\) suy ra \(AC = AB.\sqrt 3 = 3\sqrt 3 .\)

(H.4.7)

Xét tam giác ABC vuông tại A, có AB = 5, \(\widehat C = 30^\circ .\)

Ta cần tính cạnh BC.

Trong tam giác ABC vuông, ta có

\(\sin C = \frac{{AB}}{{BC}}\) hay \(\sin 30^\circ = \frac{{AB}}{{BC}},\) suy ra \(\frac{1}{2} = \frac{{AB}}{{BC}},\) hay BC = 2AB = 2.5 = 10 (cm).

(H.4.8)

Hình chữ nhật ABCD có \(AD = \sqrt 3 ,\) DC = 3. Ta cần tính góc \(\widehat {ADB}.\)

Ta có \(\tan \widehat {ADB} = \frac{{AB}}{{AD}} = \frac{3}{{\sqrt 3 }} = \sqrt 3 .\)

Theo bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt, ta có \(\widehat {ADB} = 60^\circ .\)

a) Ta có sin 55° = cos(90° – 55°) = cos 35°;

cos 62° = sin(90° – 62°) = sin 28°;

tan 57° = cot(90° – 57°) = cot 33°;

cot 64° = tan(90° – 64°) = tan 26°.

b) Ta có \(\frac{{\tan 25^\circ }}{{\cot 65^\circ }} = \frac{{\tan 25^\circ }}{{\tan \left( {90^\circ - 65^\circ } \right)}} = \frac{{\tan 25^\circ }}{{\tan 25^\circ }} = 1;\)

\(\tan 34^\circ - \cot 56^\circ = \tan 34^\circ - \tan \left( {90^\circ - 56^\circ } \right) = \tan 34^\circ - \tan 34^\circ = 0.\)

a) \(\sin 40^\circ 12' \approx 0,645;\)

b) \(\cos 52^\circ 54' \approx 0,603;\)

c) \(\tan 63^\circ 36' \approx 2,014;\)

d) \(\cot 35^\circ 20' \approx 1,411.\)

a) \(x \approx 13^\circ 42';\)

b) \(x \approx 51^\circ 30';\)

c) \(x \approx 51^\circ 1';\)

d) \(x \approx 24^\circ 54'.\)

(H.4.9)

a) Trong tam giác ABC vuông có

\(\tan B = \frac{{AC}}{{AB}} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}.\)

Theo định lí Pythagore, ta có

BC² = AC² + AB² = 8² + 6² = 100.

\(BC = \sqrt {100} = 10.\)

Ta có \(\sin B = \frac{{AC}}{{BC}} = \frac{8}{{10}} = \frac{4}{5},\) từ đó suy ra \(\widehat B \approx 53^\circ .\)

b) Trong tam giác vuông ABH có:

\(\sin B = \frac{{AH}}{{AB}},\) suy ra \(AH = AB.\sin B = 6.\frac{4}{5} = \frac{{24}}{5};\)

\(\tan B = \frac{{AH}}{{BH}},\) suy ra \(BH = \frac{{AH}}{{\tan B}} = \frac{{24}}{5}:\frac{4}{3} = \frac{{24}}{5}.\frac{3}{4} = \frac{{18}}{5}.\)

\(\cos \widehat {BAH} = \sin \widehat {ABC} = \frac{4}{3}\) (vì \(\widehat {BAH}\) và góc \(\widehat {ABC}\) là hai góc phụ nhau).

(H.4.10)

Tam giác ABH vuông tại H, ta có:

\[\sin \widehat {ABH} = \frac{{AH}}{{AB}}\] nên

\(AH = AB.\sin \widehat {ABH} = AB.\sin 60^\circ = 6.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = 3\sqrt 3 .\)

Xét tam giác ABC có \(\widehat {ACB} = 180^\circ - 40^\circ - 60^\circ = 80^\circ .\)

Tam giác ACH vuông tại H, ta có:

\(\sin \widehat {ACH} = \frac{{AH}}{{AC}}\) nên \(AC = \frac{{AH}}{{\sin \widehat {ACH}}} = \frac{{3\sqrt 3 }}{{\sin 80^\circ }} \approx 5,27.\)

b) Ta có \(\tan \widehat {ACH} = \frac{{AH}}{{CH}}\) nên \(CH = \frac{{AH}}{{\tan \widehat {ACH}}} = \frac{{3\sqrt 3 }}{{\tan 80^\circ }} \approx 0,92.\)

\(\tan \widehat {ABH} = \frac{{AH}}{{BH}}\) nên \(BH = \frac{{AH}}{{\tan \widehat {ABH}}} = \frac{{3\sqrt 3 }}{{\tan 60^\circ }} = \frac{{3\sqrt 3 }}{{\sqrt 3 }} = 3.\)